工業数学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

極限

直接代入: まず x = a を代入する。0/0 なら式を簡単にする
因数分解して約分: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共役な式: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
無限大での極限: x の最高次の累乗で割る。次数が等しければ最高次の係数の比になる
特別な極限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
ロピタルの定理: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

微分

べき乗の微分: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
積の法則: (uv)′ = u′v + uv′
商の微分法: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
連鎖律: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
主な導関数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

解き方

式の構造を見分けます：和、積、商、または合成関数。
x の各累乗にべき乗の微分法を適用します。
必要に応じて積の微分法、商の微分法、合成関数の微分法を使います。
整理し、指定があればその点での値を求めます。

積分

べき乗の微分: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定積分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
主な不定積分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲線で囲まれた面積: ∫_a^b (f − g) dx

解き方

できれば被積分関数を簡単な項の和に書き直します。
べき乗の積分公式を適用します：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。e^x、1/x、sin、cos には基本の積分公式を使います。
関数とその導関数が一緒に現れていたら置換積分を使います。
定積分では F(b) − F(a) を計算します。

複素数

直交形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
絶対値と偏角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
極形式と指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
割り算: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
積と商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
ド・モアブル: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 乗根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q の 2 次方程式: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

解き方

演算に合った形を選びましょう：足し算と引き算には直交形式 a + jb、掛け算・割り算・冪・累乗根には極形式 r∠θ です。
展開するときは j² = −1 を使います。割り算は、分子と分母に分母の共役複素数を掛けて行います。
変換には r = √(a² + b²) と、点の図（象限を確認）から求めた θ を使い、戻すには a = r cos θ、b = r sin θ を使います。
冪にはド・モアブルの定理 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ を使います。zⁿ = R∠φ では、n 個の解 R^1/n∠((φ + 360°k)/n) をすべて挙げます。

微分方程式

指数関数的な増加・減少: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半減期: k = ln 2 / t_½
ニュートンの冷却法則: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
積分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合タンク: dm/dt = r·c − (r/V)·m

行列と行列式

2×2 の行列式: det = ad − bc
2×2 の逆行列: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
製品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
固有値: det(A − λI) = 0
クラメルの公式: x_i = det(A_i)/det(A)

ベクトル：内積と外積

大きさ: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
単位ベクトル: û = a/|a|
角度から成分を求める: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
内積: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a の b 上へのスカラー射影: a·b/|b|
仕事: W = F·d
外積: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面積: 平行四辺形 |a × b|, 三角形 ½|a × b|
O まわりのモーメント: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体の体積: V = |a·(b × c)|

解き方

すべてのベクトルを成分で書きます。大きさと角度で与えられた力には F·cos θ と F·sin θ を使います。
長さと向きには、大きさ √(x² + y² + z²) と単位ベクトル a/|a| を使います。
角度、射影、垂直性、仕事には内積を使います：a·b = |a||b|cos θ。
垂直なベクトル、面積、モーメントには外積を使います：3 つの成分を慎重に書き、順序 a × b を守ります。

確率

余事象: P(not A) = 1 − P(A)
加法定理: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立な事象: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件付き確率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二項分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.極限ふつう

極限 L = lim_x→∞ (−x³ + 2x + 1)/(3x³ + 5x + 4) を求めなさい。

f(x) = (−x³ + 2x + 1)/(3x³ + 5x + 4)x → ∞

L =

2.極限むずかしい

極限 L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(3x²) を求めなさい。x の単位はラジアンとします。

f(x) = (1 − cos 5x)/(3x²)x → 0

L =

3.微分ふつう

f(x) = x·sin(x)（x はラジアン）とします。f′(0.5) を求めなさい。

f(x) = x·sin(x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

4.微分むずかしい

f(x) = 3x² − 2x − 6 の x = 1 における接線は、y 軸と y = b で交わります。b を求めなさい。

f(x) = 3x² − 2x − 6x = 1

b =

5.積分ふつう

I = ∫₀³ e^−x dx を計算しなさい。

f(x) = e^−x[0, 3]

I =

6.積分むずかしい

放物線 y = 1 − x² と x 軸で囲まれた部分の面積 A を求めなさい。

y = 1 − x²

A =

7.複素数ふつう

z = −3 + j8 の偏角 θ を、−180° から 180° の間の主値として、度で求めてください。

z = −3 + j8

θ = °

8.複素数むずかしい

点 A–D のうち、ちょうど 1 つが z⁴ = 16∠180° の解です。それをクリックしてください。

w = 16∠180°n = 4

1A (2∠180°)
2B (2∠−45°)
3C (2∠0°)
4D (1∠−45°)

9.微分方程式ふつう

y(0) = 5、y′(0) = 1 として y″ + 2y′ + y = 0 を解きなさい。y(2) を求めなさい。

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 1

y(2) =

10.微分方程式むずかしい

系が t ≥ 0 で y″ + 4y′ + 20y = 20 に従い、静止状態 y(0) = 0、y′(0) = 0 から始まります。y(0.75) を求めなさい。角度はラジアンとします。

y″ + 4y′ + 20y = 20y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.75) =

11.行列と行列式ふつう

示された 3×3 行列 A の行列式 det A を求めなさい。

A = [0 −3 3; 0 −2 −2; 2 −2 −4]

det A =

12.行列と行列式むずかしい

示された行列 A の大きい方の固有値 λ を求めなさい。

A = [−1 6; −5 10]

λ =

13.ベクトル：内積と外積ふつう

a = (−5, −6, 1) と b = (−6, −7, 4) の内積 a·b を求めよ。

a = (−5, −6, 1)b = (−6, −7, 4)

a·b =

14.ベクトル：内積と外積むずかしい

a = (1, 0, 3) と b = (6, 0, 6) が作る平行四辺形の面積 A を求めよ。

a = (1, 0, 3)b = (6, 0, 6)

A =

15.確率ふつう

示された分布について、X の分散 Var(X) を求めなさい。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.1, 0.25, 0.25, 0.1

Var(X) =

16.確率むずかしい

部品を 12 個試験し、各部品は独立に確率 0.1 で故障します。故障が多くとも 1 個である確率 P はいくつですか？

n = 12p = 0.1

P =

17.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：33, 40, 49, 36, 35, 41, 32。

n = 7

s =

18.記述統計むずかしい

ある量は平均 50、標準偏差 10 の正規分布に従います。70 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 50σ = 10x = 70

P =

19.正規分布ふつう

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。460 から 574 h の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 500σ = 40x₁ = 460x₂ = 574

P =

20.正規分布むずかしい

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。色つきの下位 80% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 65 点σ = 10 点80%

x = 点

3溶液

1.極限

答え: L = −0.3333

極限：まず直接代入してみます。0/0 になる場合は、先に式を簡単にします：因数分解して共通因数を約分するか、共役な式を掛けます。x → ∞ では、分子と分母を x の最高次の累乗で割ります。ロピタルの定理：f/g が 0/0 または ∞/∞ になるなら、lim f/g = lim f′/g′ です。分子と分母を別々に微分します（商の微分法は使いません）。

最高次の累乗で割る

(−1 + 2/x² + 1/x³)/(3 + 5/x² + 4/x³)

x → ∞ とする

L = −1/3 = −0.3333

答え

L = −0.3333

次数が等しければ、極限は最高次の係数の比になります。

2.極限

答え: L = 4.167

1 回目の適用

5·sin 5x/(6x) → 0/0

2 回目の適用

25·cos 5x/6

x = 0 を代入する

L = 25/6 = 4.167

答え

L = 4.167

3.微分

答え: f′(0.5) = 0.9182

微分：導関数 f′(x) は x におけるグラフの傾きです。べき乗の法則：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。積の法則：(uv)′ = u′v + uv′。連鎖律：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。f′(x) = 0 のところではグラフの接線が水平になり、極大・極小・鞍点のいずれかです。

積の法則と連鎖律

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

代入する

f′(0.5) = 0.4794 + 0.5·0.8776 = 0.9182

答え

f′(0.5) = 0.9182

4.微分

答え: b = −9

接点と傾き

f(1) = −5

f′(x) = 6x − 2 → f′(1) = 4

x = 0 での接線の値

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −5 − 4·1 = −9

答え

b = −9

5.積分

答え: I = 0.9502

定積分：∫ₐᵇ f(x) dx は、a から b までのグラフと x 軸の間の符号付き面積です。原始関数 F（F′ = f）を求め、F(b) − F(a) を計算します。べき乗の法則：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。2 曲線の間の面積は ∫(上 − 下) dx です。

原始関数

F(x) = e^−x/(−1)

上端と下端を代入する

I = (e⁻³ − 1)/(−1) = (0.04979 − 1)/(−1) = 0.9502

答え

I = 0.9502

6.積分

答え: A = 1.333

零点

1 − x² = 0 → x = ±1

積分する

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

答え

A = 1.333

7.複素数

答え: θ = 110.6 °

極形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ、r = |z|、θ = arg z です。直交形式に戻すには：a = r cos θ、b = r sin θ。偏角には象限の考慮が必要です：θ = atan(b/a) が使えるのは a > 0 のときだけで、a < 0 のときは 180° を足すか引きます。極形式では掛け算が簡単です：絶対値を掛けて偏角を足します。割り算では絶対値を割って偏角を引きます。

象限

a = −3, b = 8 → II

基準角

α = atan(8/3) = 69.44°

偏角

θ = 180° − α = 110.6°

答え

θ = 110.6°

極形式では z = 8.544∠110.6° です。

8.複素数

答え: B (2∠−45°)

ド・モアブルの定理と累乗根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程式 zⁿ = R∠φ にはちょうど n 個の解があり、すべて絶対値は R^1/n で、偏角は (φ + 360°·k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）です：円周上に 360°/n ずつ等間隔に並びます。p² < 4q のとき、2 次方程式 z² + pz + q = 0 は複素数の解 z = −p/2 ± j√(q − p²/4) をもちます。実数係数の多項式の複素数の解は、必ず共役な対 a ± jb として現れます。

解の絶対値と偏角

|z| = 2

θ = 45°, 135°, −135°, −45°

その点

B = 2∠−45°

答え

B (2∠−45°)

9.微分方程式

答え: y(2) = 2.301

2 階線形方程式：y″ + b·y′ + c·y = 0 では y = e^rt とおきます。これから特性方程式 r² + b·r + c = 0 が得られます。異なる 2 つの実根 r₁ ≠ r₂ のときは y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（過減衰）、重根 r のときは y = (A + Bt)·e^rt（臨界減衰）、複素根 −α ± jω のときは y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（不足減衰、振動）となります。初期値 y(0) と y′(0) から A と B が決まります。y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 の形に書くと、ω_n は固有角周波数、ζ は減衰比で、ζ < 1 なら振動します。入力が一定の y″ + by′ + cy = c·K では、解は定常値 K に自由応答を加えたものです。

重根

(r + 1)² = 0 → r = −1

定数

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 1A → B = 1 + 5 = 6

計算する

y(2) = (5 + 6·2)·e⁻² = 2.301

答え

y(2) = 2.301

10.微分方程式

答え: y(0.75) = 1.205

定常値と根

y_ss = 1, r = −2 ± 4j

初期値から求める定数

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −2A + 4B = 0 → B = −0.5

計算する

y(0.75) = 1·(1 − e^−1.5(cos 3 + 0.5·sin 3)) = 1.205

答え

y(0.75) = 1.205

11.行列と行列式

答え: det A = 24

行列：2×2 行列の行列式は ad − bc です。3×3 では 1 つの行に沿って展開します：各成分に、その行と列を除いた 2×2 行列の行列式を掛け、符号は + − + と交互にします。固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たし、2×2 では λ² −（トレース）·λ + det = 0 です。

第 1 行の 2×2 小行列式

M₁₁ = 4, M₁₂ = 4, M₁₃ = 4

余因子展開

det A = 0·4 − (−3)·4 + 3·4 = 24

答え

det A = 24

12.行列と行列式

答え: λ = 5

固有方程式

λ² − (9)λ + (20) = 0

解く

λ = (9 ± √(1))/2 → λ = 4, 5

λ = 5

答え

λ = 5

13.ベクトル：内積と外積

答え: a·b = 76

内積（ドット積）：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ はスカラーです。2 つのベクトルのなす角は cos θ = a·b/(|a|·|b|) から求められ、垂直なら内積は 0 です。a の b 上へのスカラー射影は a·b/|b| で、一定の力 F が変位 d だけ動くときの仕事は W = F·d です。

対応する成分を掛けて足す

a·b = (−5)·(−6) + (−6)·(−7) + 1·4 = 30 + 42 + 4 = 76

答え

a·b = 76

正：2 つのベクトルのなす角は 90° より小さい。

14.ベクトル：内積と外積

答え: A = 12

外積（クロス積）：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) は両方のベクトルに垂直で、|a × b| = |a|·|b|·sin θ は 2 つのベクトルが作る平行四辺形の面積です（三角形ならその半分）。順序が重要です：b × a = −(a × b)。点 A に加わる力 F の点 O まわりのモーメントは M_O = r × F（r = A − O）です。

外積

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·6 − 3·0 = 0

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·6 − 1·6 = 12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·0 − 0·6 = 0

面積

A = |a × b| = √(0² + 12² + 0²) = 12

答え

A = 12

15.確率

答え: Var(X) = 1.887

離散確率変数：確率分布は、変数がとりうるすべての値 x とその確率 p(x) を並べたものです。確率は 0 と 1 の間にあり、合計は 1 になります。期待値（平均）は E(X) = Σx·p(x) で、長期的な平均です。分散は Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²、標準偏差は σ = √Var(X) です。一次変換 Y = aX + b では E(Y) = a·E(X) + b、Var(Y) = a²·Var(X)、σ_Y = |a|·σ_X となり、定数を加えてもばらつきは変わりません。

平均

μ = 1·0.3 + 2·0.1 + 3·0.25 + 4·0.25 + 5·0.1 = 2.75

2 乗の平均

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.1 + 9·0.25 + 16·0.25 + 25·0.1 = 9.45

分散

Var(X) = 9.45 − 2.75² = 1.887

答え

Var(X) = 1.887

16.確率

答え: P = 0.659

確率：どの結果も同様に確からしいとき、P(A) = 該当する場合の数/全体の場合の数。独立な事象は掛け合わせます：P(A かつ B) = P(A)·P(B)。余事象がよく役立ちます：P(少なくとも 1 回) = 1 − P(1 回もない)。二項分布：成功確率 p の独立な試行を n 回行うと、P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

故障 0 個と 1 個

P(X = 0) = 0.9¹² = 0.2824

P(X = 1) = 12·0.1·0.9¹¹ = 0.3766

足し合わせる

P = 0.2824 + 0.3766 = 0.659

答え

P = 0.659

17.記述統計

答え: s = 5.888

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 266/7 = 38

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−5)² + 2² + 11² + (−2)² + (−3)² + 3² + (−6)² = 208

標準偏差

s = √(208/6) = 5.888

答え

s = 5.888

18.記述統計

答え: P = 0.9772

標準化する

z = 2

標準正規分布表

Φ(2) = 0.9772

P = 0.9772

答え

P = 0.9772

19.正規分布

答え: P = 0.8092

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (460 − 500)/40 = −1

z₂ = (574 − 500)/40 = 1.85

間の面積

P = Φ(1.85) − Φ(−1) = 0.9678 − 0.1587 = 0.8092

答え

P = 0.8092

20.正規分布

答え: x = 73.4 点

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.8

表からの z

z ≈ 0.84

元の単位に戻す

x = 65 + 0.84·10 = 73.4 点

答え

x = 73.4 点

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