エビデンスに基づく実践：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度: Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値: PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度: (a + d)/n
尤度比: LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV: Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ: オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT）: NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比: OR = ad/(bc)
罹患率: 新規症例 / 人時

解き方

計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。ランダム化比較試験で、770 人の患者が新しい治療を、620 人が対照の治療を受けました。表は、各群でアウトカム（脳卒中などの望ましくないイベント）があった人数を示しています。治療によるイベントの相対リスク RR を求めてください。小数第 2 位まで四捨五入してください。

治療: 92/770対照: 149/620

RR =

2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。あるスクリーニング検査の感度は 75%、特異度は 94% です。有病率が 5% の集団で用いられます。陰性的中率 NPV を割合（%）で求めてください。小数第 1 位まで四捨五入してください。

Se = 75%Sp = 94%p = 5%

NPV = %

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：37, 13, 37, 23, 44, 38。

n = 6

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 500、標準偏差 25 の正規分布に従います。525 より小さい値の割合 P はいくつですか？

μ = 500σ = 25x = 525

P =

5.信頼区間ふつう

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：40 台、平均 69 h、既知の標準偏差 17 h。機種 2：100 台、平均 54 h、既知の標準偏差 12 h。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。

n₁ = 40x̄₁ = 69 hσ₁ = 17 hn₂ = 100x̄₂ = 54 hσ₂ = 12 h99%

下限 = h

6.信頼区間むずかしい

予備調査によると、製品の約 0.3 が不良品です。割合の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.04 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？

p ≈ 0.3E = 0.0490%

n =

7.仮説検定と信頼区間ふつう

学生 64 人の標本の平均点は 121.8、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 120x̄ = 121.8s = 5n = 64

t =

8.仮説検定と信頼区間むずかしい

平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 3 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 4 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 4E = 399%

n =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: RR = 0.5

尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

イベント発生率

EER = 92/770 = 0.1195

CER = 149/620 = 0.2403

相対リスク

RR = 0.1195/0.2403 = 0.4972 ≈ 0.5

答え

RR = 0.5

2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: NPV = 98.6 %

予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。

真陰性と偽陰性（1人あたり）

Sp·(1 − p) = 0.94·0.95 = 0.893

(1 − Se)·p = 0.25·0.05 = 0.0125

陰性的中率

NPV = 0.893/(0.893 + 0.0125) = 0.9862 ≈ 98.6%

答え

NPV = 98.6%

3.記述統計

答え: s = 11.59

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 192/6 = 32

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 5² + (−19)² + 5² + (−9)² + 12² + 6² = 672

標準偏差

s = √(672/5) = 11.59

答え

s = 11.59

4.記述統計

答え: P = 0.8413

標準化する

z = 1

標準正規分布表

Φ(1) = 0.8413

P = 0.8413

答え

P = 0.8413

5.信頼区間

答え: 下限 = 7.417 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 69 − 54 = 15

標準誤差

SE = √(17²/40 + 12²/100) = 2.944

誤差の幅

E = 2.576·2.944 = 7.583

区間

15 ± 7.583 → [7.417, 22.58]

答え

下限 = 7.417 h

区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。

6.信頼区間

答え: n = 356

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n について解く

n = 1.645²·0.3·0.7/0.04² = 355.2

切り上げる

n = 356

答え

n = 356

7.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.88

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 5/√64 = 5/8 = 0.625

検定統計量

t = (121.8 − 120)/0.625 = 2.88

答え

t = 2.88

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

8.仮説検定と信頼区間

答え: n = 12

n について解く

n = (2.576·4/3)² = 11.8

切り上げる

n = 12

答え

n = 12

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