エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
検査疾患あり疾患なし合計正328455783ab負62845907cd合計39013001690

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 新しい検査を、ある研究で基準となる標準検査と比較しました(2 × 2 表を参照)。 陰性尤度比 LR− を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。

a = 328b = 455c = 62d = 845
LR− =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
p (%)NPV (%)5%NPV = ?100

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 あるスクリーニング検査の感度は 80%、特異度は 89% です。有病率が 5% の集団で用いられます。 陰性的中率 NPV を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

Se = 80%Sp = 89%p = 5%
NPV = %
3.記述統計ふつう
20253035404550

データの標本標準偏差 s を求めなさい:54, 27, 28, 30, 16, 29, 38。

n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 500、標準偏差 40 の正規分布に従います。460 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 500σ = 40x = 460
z =
5.信頼区間ふつう
x̄E₁ = 11.299%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 50

σ が既知のもとで 50 個の観測値に基づく平均の 99% 信頼区間の誤差の幅は 11.2 です。 同じデータから求めた 95% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか?

99%n₁ = 50E₁ = 11.295%
E₂ =
6.信頼区間むずかしい
σ = 38, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.599%

母標準偏差は 38 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか?

σ = 38E = 0.599%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.3062.306t = ?df = 8

9 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前(1 分あたりの単語数)を記録します。差の平均は 1.23、差の標準偏差は 2.3 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。

n = 9d̄ = 1.23sd = 2.3
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
z −2.57602.576

36 回の測定の標本平均は 74.2 です。母標準偏差は 12 です。平均の 99% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 74.2σ = 12n = 3699%
U =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: LR− = 0.24

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

感度と特異度

Se = 328/390 = 0.841
Sp = 845/1300 = 0.65

陰性尤度比

LR− = (1 − 0.841)/0.65 = 0.2446 ≈ 0.24

答え

LR− = 0.24
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: NPV = 98.8 %

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

真陰性と偽陰性(1人あたり)

Sp·(1 − p) = 0.89·0.95 = 0.8455
(1 − Se)·p = 0.2·0.05 = 0.01

陰性的中率

NPV = 0.8455/(0.8455 + 0.01) = 0.9883 ≈ 98.8%

答え

NPV = 98.8%
3.記述統計

答え: s = 11.76

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 222/7 = 31.71

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 22.29² + (−4.714)² + (−3.714)² + (−1.714)² + (−15.71)² + (−2.714)² + 6.286² = 829.4

標準偏差

s = √(829.4/6) = 11.76

答え

s = 11.76
4.記述統計

答え: z = −1

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (460 − 500)/40 = −1

答え

z = −1
5.信頼区間

答え: E₂ = 8.522

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

誤差の幅の比

E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(50/50) = 0.7609

新しい誤差の幅

E₂ = 11.2·0.7609 = 8.522

答え

E₂ = 8.522
6.信頼区間

答え: n = 38329

平均の信頼区間:x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·38/0.5)² = 38328

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 38329

答え

n = 38329
7.仮説検定と信頼区間

答え: t = 1.604

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

差の平均の標準誤差

SE = 2.3/√9 = 0.7667

検定統計量

t = 1.23/0.7667 = 1.604

答え

t = 1.604

df = 8 のとき、両側 5% の臨界値は 2.306 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: U = 79.35

平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。

誤差の幅

E = 2.576·12/√36 = 5.152

区間の端

U = 74.2 + 5.152 = 79.35

答え

U = 79.35

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