エビデンスに基づく実践：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT）
NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
Se82%Sp96%LR+ = ?

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある検査の感度は 82%、特異度は 96% です。 陽性尤度比 LR+ を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。

Se = 82%Sp = 96%
LR+ =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
p (%)NPV (%)2%NPV = ?100

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 あるスクリーニング検査の感度は 77%、特異度は 95% です。有病率が 2% の集団で用いられます。 陰性的中率 NPV を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

Se = 77%Sp = 95%p = 2%
NPV = %
3.記述統計ふつう
1520253035

データの標本標準偏差 s を求めなさい：39, 24, 21, 20, 15。

n = 5
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 500、標準偏差 75 の正規分布に従います。462.5 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 500σ = 75x = 462.5
z =
5.信頼区間ふつう
n = 12, s = 1LUx̄ = 67.5E = ?99%

12 個からなる標本の平均は 67.5、標準偏差は s = 1 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n = 12x̄ = 67.5s = 199%t(11) = 3.106
E =
6.信頼区間むずかしい
σ = 22, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 295%

母標準偏差は 22 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 22E = 295%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
t −1.99801.998

学生 64 人の標本の平均点は 103、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 100x̄ = 103s = 20n = 64
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 195%

平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 1 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 4 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

σ = 4E = 195%
n =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: LR+ = 20.5

尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

陽性尤度比

LR+ = 0.82/(1 − 0.96) = 20.5

答え

LR+ = 20.5
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: NPV = 99.5 %

予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。

真陰性と偽陰性（1人あたり）

Sp·(1 − p) = 0.95·0.98 = 0.931
(1 − Se)·p = 0.23·0.02 = 0.0046

陰性的中率

NPV = 0.931/(0.931 + 0.0046) = 0.9951 ≈ 99.5%

答え

NPV = 99.5%
3.記述統計

答え: s = 9.094

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 119/5 = 23.8

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 15.2² + 0.2² + (−2.8)² + (−3.8)² + (−8.8)² = 330.8

標準偏差

s = √(330.8/4) = 9.094

答え

s = 9.094
4.記述統計

答え: z = −0.5

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (462.5 − 500)/75 = −0.5

答え

z = −0.5
5.信頼区間

答え: E = 0.8966

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 11, t = 3.106

誤差の幅

E = 3.106·1/√12 = 0.8966

答え

E = 0.8966
6.信頼区間

答え: n = 465

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.96·22/2)² = 464.8

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 465

答え

n = 465
7.仮説検定と信頼区間

答え: t = 1.2

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5

検定統計量

t = (103 − 100)/2.5 = 1.2

答え

t = 1.2
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| < 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: n = 62

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

n について解く

n = (1.96·4/1)² = 61.47

切り上げる

n = 62

答え

n = 62

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