1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT) NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時
解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up
解き方 z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間:x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n
解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
症例 対照 曝露あり 292 239 a b 曝露なし 108 221 c d
練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 症例対照研究で、疾患のある患者 400 人(症例)と疾患のない 460 人(対照)を比較しました。表は、各群でリスク因子に曝露された人数を示しています。この曝露のオッズ比 OR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 292 b = 239 c = 108 d = 221
OR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ある患者の疾患の検査前確率は 30% です。感度 86%、特異度 86% の検査の結果は 正 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
検査前 30% Se = 86% Sp = 86% 正
p′ = %
3. 記述統計 ふつう
15 20 25 30 35 40 45 50 55
データの標本標準偏差 s を求めなさい:56, 13, 43, 37, 33, 35, 41。
n = 7
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 50、標準偏差 15 の正規分布に従います。32 より大きい値の割合 P はいくつですか?
μ = 50 σ = 15 x = 32
P =
5. 信頼区間 ふつう
n = 8, sd = 3.1 0 L U d̄ = 1.1 E = ? 90%
8 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後(mmHg)の平均は 1.1、標準偏差は 3.1 です。 差の平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 8 d̄ = 1.1 sd = 3.1 90% t(7) = 1.895
E = mmHg
6. 信頼区間 むずかしい
n = 30 L σ = ? s = 1 95%
機械加工した 30 本の軸の直径の標本標準偏差は 1 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 29 のとき、χ² 分布の 2.5% は 16.047 より下に、2.5% は 45.722 より上にあります。
n = 30 s = 1 µm χ² = 16.047, 45.722
σ = µm
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
学生 36 人の標本の平均点は 500.5、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 500 x̄ = 500.5 s = 4 n = 36
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
ある臨床試験で、治療 A の患者 300 人中 60 人、治療 B の患者 120 人中 7 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
x₁ = 60 n₁ = 300 x₂ = 7 n₂ = 120
z =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: OR = 2.5
尤度比とリスク指標: LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
曝露のオッズ 症例: 292/108 = 2.704
対照: 239/221 = 1.081
オッズ比 OR = (292·221)/(239·108) = 2.5
OR が1より大きい:曝露は症例のほうに多くみられます。
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: p′ = 72.5 %
予測値は有病率に依存します: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。
尤度比 LR+ = 0.86/(1 − 0.86) = 6.143
検査後確率 p′ = 2.633/(1 + 2.633) = 0.7247 ≈ 72.5%
3. 記述統計
答え: s = 12.97
記述統計: 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = 19.14² + (−23.86)² + 6.143² + 0.1429² + (−3.857)² + (−1.857)² + 4.143² = 1009
4. 記述統計
答え: P = 0.8849
記述統計: 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849
5. 信頼区間
答え: E = 2.077 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
6. 信頼区間
答え: σ = 1.344 µm
分散の区間: (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値(その上に 2.5%)で割った値から、下側の χ² 値(その下に 2.5%)で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
σ² の限界 29/45.722 = 0.6343
29/16.047 = 1.807
σ の 95% 区間:[0.7964, 1.344] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = 0.75
平均の検定: 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。
標準誤差 SE = 4/√36 = 4/6 = 0.6667
検定統計量 t = (500.5 − 500)/0.6667 = 0.75
t = 0.75
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されません。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: z = 3.582
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
標本比率 p̂₁ = 60/300 = 0.2
p̂₂ = 7/120 = 0.05833
p̂ = 67/420 = 0.1595
H₀ のもとでの標準誤差 SE = √(0.1595·0.8405·(1/300 + 1/120)) = 0.03955
検定統計量 z = (0.2 − 0.05833)/0.03955 = 3.582
|z| > 1.96 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されます。