1公式と解法
エビデンスに基づく実践の統計
- 感度と特異度
- Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
- 予測値
- PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
- 精度
- (a + d)/n
- 尤度比
- LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
- 有病率 p での PPV
- Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
- オッズ
- オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
- リスク指標
- RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
- 治療必要数（NNT）
- NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
- オッズ比
- OR = ad/(bc)
- 罹患率
- 新規症例 / 人時
解き方
- 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
- 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
- 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
- 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
- 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。
記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
2演習問題
1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 新しい検査を、ある研究で基準となる標準検査と比較しました（2 × 2 表を参照）。 陽性尤度比 LR+ を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 220b = 10c = 140d = 120
LR+ =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある治療は、イベントのリスクを相対的に 20% 減らします（RRR = 20%）。ある患者群では、治療しない場合のリスク（CER）は5年間で 40% です。5年間でイベントを1件防ぐのに必要な治療必要数 NNT を求めてください。 患者数の整数に切り上げます。
RRR = 20%CER = 40%
NNT =
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：39, 22, 59, 25, 55, 10。
n = 6
s =
4.記述統計むずかしい
ある量は平均 100、標準偏差 10 の正規分布に従います。88 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 100σ = 10x = 88
P =
5.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：60 台、平均 62 h、既知の標準偏差 7 h。機種 2：100 台、平均 65 h、既知の標準偏差 10 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。
n₁ = 60x̄₁ = 62 hσ₁ = 7 hn₂ = 100x̄₂ = 65 hσ₂ = 10 h90%
下限 = h
6.信頼区間むずかしい
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：7 区画、平均収量 38.5 kg、標準偏差 8 kg。区画群 2：10 区画、平均 29.5 kg、標準偏差 4 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。
n₁ = 7x̄₁ = 38.5s₁ = 8n₂ = 10x̄₂ = 29.5s₂ = 490%t(15) = 1.753
下限 = kg
7.仮説検定と信頼区間ふつう
2 つの指導法を比べます。グループ 1：11 人の学生、平均点 29、標準偏差 11。グループ 2：5 人の学生、平均点 41.1、標準偏差 5.5。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
n₁ = 11x̄₁ = 29s₁ = 11n₂ = 5x̄₂ = 41.1s₂ = 5.5
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 2.5 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 6 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.01検出力 = 80%δ = 2.5σ = 6zα = 2.326zβ = 0.842
n =
3溶液
1.エビデンスに基づく実践の統計
答え: LR+ = 7.94
尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
感度と特異度
Se = 220/360 = 0.6111
Sp = 120/130 = 0.9231
陽性尤度比
LR+ = 0.6111/(1 − 0.9231) = 7.944 ≈ 7.94
2.エビデンスに基づく実践の統計
答え: NNT = 13
予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
同じ相対効果でも、ベースラインのリスクが高いほど NNT は小さくなります。
3.記述統計
答え: s = 19.42
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = 4² + (−13)² + 24² + (−10)² + 20² + (−25)² = 1886
4.記述統計
答え: P = 0.8849
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849
5.信頼区間
答え: 下限 = −5.217 h
差の区間：推定値 ± 臨界値 × 標準誤差。σ が既知の独立な 2 つの平均では SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) と z を使います。未知の分散が等しい場合は、プールした s_p と自由度 n₁ + n₂ − 2 の t を使います。対応のあるデータでは差を扱います：d̄ ± t·s_d/√n。
標準誤差
SE = √(7²/60 + 10²/100) = 1.348
区間
−3 ± 2.217 → [−5.217, −0.7828]
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
6.信頼区間
答え: 下限 = 3.875 kg
差の区間：推定値 ± 臨界値 × 標準誤差。σ が既知の独立な 2 つの平均では SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) と z を使います。未知の分散が等しい場合は、プールした s_p と自由度 n₁ + n₂ − 2 の t を使います。対応のあるデータでは差を扱います：d̄ ± t·s_d/√n。
プールした標準偏差
sp² = (6·8² + 9·4²)/15 = 35.2
sp = 5.933
誤差の幅
E = 1.753·5.933·√(1/7 + 1/10) = 5.125
区間
9 ± 5.125 → [3.875, 14.13]
7.仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.301
仮説検定：検定統計量 =（推定値 − H₀ のもとでの値）/（H₀ のもとでの標準誤差）。p 値は、H₀ が正しいと仮定したとき、観測されたもの以上に極端な統計量が得られる確率です：片側の H₁ では片側の裾の面積、両側の H₁ では裾の面積の 2 倍です。p ≤ α なら H₀ を棄却します。
プールした分散
sp² = (10·11² + 4·5.5²)/14 = 95.07
sp = 9.75
標準誤差
SE = 9.75·√(1/11 + 1/5) = 5.259
検定統計量
t = (29 − 41.1)/5.259 = −2.301
df = 14 のとき、両側 5% の臨界値は 2.145 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。
8.仮説検定と信頼区間
答え: n = 58
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く
n = ((2.326 + 0.842)·6/2.5)² = 57.81