1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
症例 対照 曝露あり 84 43 a b 曝露なし 46 97 c d
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 症例対照研究で、疾患のある患者 130 人（症例）と疾患のない 140 人（対照）を比較しました。表は、各群でリスク因子に曝露された人数を示しています。この曝露のオッズ比 OR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 84 b = 43 c = 46 d = 97
OR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
検査 疾患あり 疾患なし 合計 正 ? 負 合計 10 000
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 10 000 人が、感度 85%、特異度 93% の検査でスクリーニングされます。疾患の有病率は 18% です。 真陽性の結果 TP は何件と予想されますか。
N = 10 000 p = 18% Se = 85% Sp = 93%
TP =
3. 記述統計 ふつう
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
データの標本標準偏差 s を求めなさい：47, 59, 51, 59, 39, 10。
n = 6
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 170、標準偏差 8 の正規分布に従います。180 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 170 σ = 8 x = 180
P =
5. 信頼区間 ふつう
μ₁ − μ₂ 0 L = ? U x̄₁ − x̄₂ E 99%
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：80 台、平均 90.5 h、既知の標準偏差 6 h。機種 2：50 台、平均 101.5 h、既知の標準偏差 8 h。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。
n₁ = 80 x̄₁ = 90.5 h σ₁ = 6 h n₂ = 50 x̄₂ = 101.5 h σ₂ = 8 h 99%
下限 =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 30 L σ = ? s = 10.8 95%
機械加工した 30 本の軸の直径の標本標準偏差は 10.8 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 29 のとき、χ² 分布の 2.5% は 16.047 より下に、2.5% は 45.722 より上にあります。
n = 30 s = 10.8 µm χ² = 16.047, 45.722
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
2 つの指導法を比べます。グループ 1：12 人の学生、平均点 52、標準偏差 5.5。グループ 2：19 人の学生、平均点 60.4、標準偏差 9。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
n₁ = 12 x̄₁ = 52 s₁ = 5.5 n₂ = 19 x̄₂ = 60.4 s₂ = 9
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
25 回の測定の標本平均は 97.2 です。母標準偏差は 20 です。平均の 99% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 97.2 σ = 20 n = 25 99%
U =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: OR = 4.12
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
曝露のオッズ 症例: 84/46 = 1.826
対照: 43/97 = 0.4433
オッズ比 OR = (84·97)/(43·46) = 4.119 ≈ 4.12
OR が1より大きい：曝露は症例のほうに多くみられます。
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: TP = 1530
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
疾患のある人とない人 10 000·0.18 = 1800
10 000 − 1800 = 8200
3. 記述統計
答え: s = 18.38
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = 2.833² + 14.83² + 6.833² + 14.83² + (−5.167)² + (−34.17)² = 1689
4. 記述統計
答え: P = 0.1056
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056
5. 信頼区間
答え: 下限 = −14.39 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値 x̄₁ − x̄₂ = 90.5 − 101.5 = −11
標準誤差 SE = √(6²/80 + 8²/50) = 1.315
区間 −11 ± 3.388 → [−14.39, −7.612]
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
6. 信頼区間
答え: σ = 14.52 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 29·10.8² = 3383
σ² の限界 3383/45.722 = 73.98
3383/16.047 = 210.8
σ の 95% 区間：[8.601, 14.52] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.899
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
プールした分散 sp ² = (11·5.5² + 18·9²)/29 = 61.75
sp = 7.858
標準誤差 SE = 7.858·√(1/12 + 1/19) = 2.898
検定統計量 t = (52 − 60.4)/2.898 = −2.899
df = 29 のとき、両側 5% の臨界値は 2.045 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: U = 107.5
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。