エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
検査疾患あり疾患なし合計正108150258ab負22450472cd合計130600730

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 新しい検査を、ある研究で基準となる標準検査と比較しました(2 × 2 表を参照)。 陽性尤度比 LR+ を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。

a = 108b = 150c = 22d = 450
LR+ =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
検査前40%検査後?p′LR−

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ある患者の疾患の検査前確率は 40% です。感度 97%、特異度 72% の検査の結果は 負 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

検査前 40%Se = 97%Sp = 72%負
p′ = %
3.記述統計ふつう
1520253035

データの標本標準偏差 s を求めなさい:14, 34, 16, 24, 29, 39。

n = 6
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 60、標準偏差 15 の正規分布に従います。82.5 より小さい値の割合 P はいくつですか?

μ = 60σ = 15x = 82.5
P =
5.信頼区間ふつう
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E90%

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1:50 台、平均 135.5 h、既知の標準偏差 3 h。機種 2:50 台、平均 121.5 h、既知の標準偏差 18 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。

n₁ = 50x̄₁ = 135.5 hσ₁ = 3 hn₂ = 50x̄₂ = 121.5 hσ₂ = 18 h90%
下限 = h
6.信頼区間むずかしい
σ = 21, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 299%

母標準偏差は 21 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか?

σ = 21E = 299%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−1.961.96z = ?

2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1:50 個の部品の標本の平均長さは 148 mm で、ラインの既知の標準偏差は 17 mm です。ライン 2:100 個の部品の標本の平均は 145.4 mm、既知の標準偏差は 15 mm です。差を x̄₁ − x̄₂(ライン 1 − ライン 2)として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。

n₁ = 50x̄₁ = 148 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 100x̄₂ = 145.4 mmσ₂ = 15 mm
z =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0.01βσ = 29, 検出力 80%, n = ?

α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 5 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 29 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.01検出力 = 80%δ = 5σ = 29zα = 2.326zβ = 0.842
n =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: LR+ = 3.32

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

感度と特異度

Se = 108/130 = 0.8308
Sp = 450/600 = 0.75

陽性尤度比

LR+ = 0.8308/(1 − 0.75) = 3.323 ≈ 3.32

答え

LR+ = 3.32
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: p′ = 2.7 %

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

尤度比

LR− = (1 − 0.97)/0.72 = 0.04167

検査前オッズ

0.4/(1 − 0.4) = 0.6667

検査後オッズ

0.6667·0.04167 = 0.02778

検査後確率

p′ = 0.02778/(1 + 0.02778) = 0.02703 ≈ 2.7%

答え

p′ = 2.7%
3.記述統計

答え: s = 9.899

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 156/6 = 26

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−12)² + 8² + (−10)² + (−2)² + 3² + 13² = 490

標準偏差

s = √(490/5) = 9.899

答え

s = 9.899
4.記述統計

答え: P = 0.9332

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = 1.5

標準正規分布表

Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332

答え

P = 0.9332
5.信頼区間

答え: 下限 = 9.755 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 135.5 − 121.5 = 14

標準誤差

SE = √(3²/50 + 18²/50) = 2.581

誤差の幅

E = 1.645·2.581 = 4.245

区間

14 ± 4.245 → [9.755, 18.25]

答え

下限 = 9.755 h

区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。

6.信頼区間

答え: n = 732

平均の信頼区間:x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·21/2)² = 731.6

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 732

答え

n = 732
7.仮説検定と信頼区間

答え: z = 0.9175

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差の標準誤差

SE = √(17²/50 + 15²/100) = √8.03 = 2.834

検定統計量

z = (148 − 145.4)/2.834 = 0.9175

答え

z = 0.9175

|z| < 1.96 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: n = 338

検定に必要な標本サイズ:有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((2.326 + 0.842)·29/5)² = 337.6

切り上げる

n = 338

答え

n = 338

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