1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
人数 年 1 440 2 2 550 4 3 570 3 新規症例 212
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 コホートで、複数の群を異なる期間追跡しました（表を参照：各群の人数と追跡年数）。追跡中に 212 件の新規症例が発生しました。罹患率 IR を1000人年あたりで求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
440 × 2 年 550 × 4 年 570 × 3 年 212 新規症例
IR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある患者の疾患の検査前確率は 30% です。感度 72%、特異度 66% の検査の結果は 正 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
検査前 30% Se = 72% Sp = 66% 正
p′ =
3. 記述統計 ふつう
25 30 35 40 45 50 55
データの標本標準偏差 s を求めなさい：41, 58, 23, 45, 33, 45, 51。
n = 7
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 100、標準偏差 8 の正規分布に従います。103.2 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 100 σ = 8 x = 103.2
P =
5. 信頼区間 ふつう
n = 10, s = 17.5 L U = ? x̄ = 24.5 E 95%
10 個からなる標本の平均は 24.5、標準偏差は s = 17.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 10 x̄ = 24.5 s = 17.5 95% t(9) = 2.262
上限 =
6. 信頼区間 むずかしい
μ₁ − μ₂, t(12) = 1.782 0 L U x̄₁ − x̄₂ E = ? 90%
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：7 区画、平均収量 56.5 kg、標準偏差 8.5 kg。区画群 2：7 区画、平均 49 kg、標準偏差 5.5 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 7 x̄₁ = 56.5 s₁ = 8.5 n₂ = 7 x̄₂ = 49 s₂ = 5.5 90% t(12) = 1.782
E =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
学生 81 人の標本の平均点は 76.6、標本標準偏差は 12 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 75 x̄ = 76.6 s = 12 n = 81
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
H₀: μ = 500 対 H₁: μ > 500 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 15 であることがわかっています。実際の平均は 503.15 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 500 μ = 503.15 σ = 15 n = 100 α = 0.01
β =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: IR = 44.3 1000人年あたり
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
人年 PY = 440·2 + 550·4 + 570·3 = 4790
罹患率 IR = 212/4790·1000 = 44.3 1000人年あたり
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: p′ = 47.6 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
尤度比 LR+ = 0.72/(1 − 0.66) = 2.118
検査後確率 p′ = 0.9076/(1 + 0.9076) = 0.4758 ≈ 47.6%
3. 記述統計
答え: s = 11.53
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−1.286)² + 15.71² + (−19.29)² + 2.714² + (−9.286)² + 2.714² + 8.714² = 797.4
4. 記述統計
答え: P = 0.6554
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554
5. 信頼区間
答え: 上限 = 37.02
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値 df = n − 1 = 9, t = 2.262
誤差の幅 E = 2.262·17.5/√10 = 12.52
区間 24.5 ± 12.52 → [11.98, 37.02]
6. 信頼区間
答え: E = 6.819 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
プールした標準偏差 sp ² = (6·8.5² + 6·5.5²)/12 = 51.25
sp = 7.159
誤差の幅 E = 1.782·7.159·√(1/7 + 1/7) = 6.819
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.2
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差 SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333
検定統計量 t = (76.6 − 75)/1.333 = 1.2
t = 1.2
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: β = 58.94 %
検定の検出力： 検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均 SE = 15/√100 = 1.5
x̄c = 500 + 2.326·1.5 = 503.5
真の平均のもとでの z z = (503.5 − 503.15)/1.5 = 0.226
第 2 種の誤り 検出力 = P(Z > 0.226) = 41.06%
β = 100% − 41.06% = 58.94%