エビデンスに基づく実践：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度: Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値: PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度: (a + d)/n
尤度比: LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV: Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ: オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT）: NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比: OR = ad/(bc)
罹患率: 新規症例 / 人時

解き方

計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。

記述統計

平均: x̄ = Σx/n
標本標準偏差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値: 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア: z = (x − μ)/σ
正規分布: ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知: x̄ ± z·σ/√n
σ が未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ: n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
信頼水準に対応する臨界値を求めます。
誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
平均の t 検定: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定: |z| > 1.96 なら H₀ を棄却
信頼区間: x̄ ± z·σ/√n

解き方

H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
臨界値と比較するか、p 値を求めます。
統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。コホートで、複数の群を異なる期間追跡しました（表を参照：各群の人数と追跡年数）。追跡中に 68 件の新規症例が発生しました。罹患率 IR を1000人年あたりで求めてください。小数第 1 位まで四捨五入してください。

160 × 1 年度570 × 2.5 年68 新規症例

IR = 1000人年あたり

2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。ある患者の疾患の検査前確率は 40% です。感度 71%、特異度 91% の検査の結果は負でした。疾患の検査後確率 p′ を割合（%）で求めてください。小数第 1 位まで四捨五入してください。

検査前 40%Se = 71%Sp = 91%負

p′ = %

3.記述統計ふつう

データの標本標準偏差 s を求めなさい：22, 54, 37, 43, 32。

n = 5

s =

4.記述統計むずかしい

ある量は平均 170、標準偏差 20 の正規分布に従います。195 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 20x = 195

P =

5.信頼区間ふつう

σ が既知のもとで 36 個の観測値に基づく平均の 95% 信頼区間の誤差の幅は 5.2 です。 72 個の観測値に基づく 99% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？

95%n₁ = 36E₁ = 5.299%n₂ = 72

E₂ =

6.信頼区間むずかしい

母標準偏差は 13 です。平均の 99% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 13E = 2.599%

n =

7.仮説検定と信頼区間ふつう

2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1：50 個の部品の標本の平均長さは 127 mm で、ラインの既知の標準偏差は 9 mm です。ライン 2：60 個の部品の標本の平均は 134.3 mm、既知の標準偏差は 16 mm です。差を x̄₁ − x̄₂（ライン 1 − ライン 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。

n₁ = 50x̄₁ = 127 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 60x̄₂ = 134.3 mmσ₂ = 16 mm

z =

8.仮説検定と信頼区間むずかしい

16 回の測定の標本平均は 123.8 です。母標準偏差は 15 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。

x̄ = 123.8σ = 15n = 1699%

L =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: IR = 42.9 1000人年あたり

尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

人年

PY = 160·1 + 570·2.5 = 1585

罹患率

IR = 68/1585·1000 = 42.9 1000人年あたり

答え

IR = 42.9 1000人年あたり

2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: p′ = 17.5 %

予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。

尤度比

LR− = (1 − 0.71)/0.91 = 0.3187

検査前オッズ

0.4/(1 − 0.4) = 0.6667

検査後オッズ

0.6667·0.3187 = 0.2125

検査後確率

p′ = 0.2125/(1 + 0.2125) = 0.1752 ≈ 17.5%

答え

p′ = 17.5%

3.記述統計

答え: s = 11.97

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 188/5 = 37.6

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−15.6)² + 16.4² + (−0.6)² + 5.4² + (−5.6)² = 573.2

標準偏差

s = √(573.2/4) = 11.97

答え

s = 11.97

4.記述統計

答え: P = 0.1056

標準化する

z = 1.25

標準正規分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

答え

P = 0.1056

5.信頼区間

答え: E₂ = 4.833

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

誤差の幅の比

E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(36/72) = 0.9293

新しい誤差の幅

E₂ = 5.2·0.9293 = 4.833

答え

E₂ = 4.833

6.信頼区間

答え: n = 180

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (2.576·13/2.5)² = 179.4

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 180

答え

n = 180

7.仮説検定と信頼区間

答え: z = −3.009

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差の標準誤差

SE = √(9²/50 + 16²/60) = √5.887 = 2.426

検定統計量

z = (127 − 134.3)/2.426 = −3.009

答え

z = −3.009

|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

8.仮説検定と信頼区間

答え: L = 114.1

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

誤差の幅

E = 2.576·15/√16 = 9.66

区間の端

L = 123.8 − 9.66 = 114.1

答え

L = 114.1

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