エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
症例対照曝露あり43101ab曝露なし27129cd

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 症例対照研究で、疾患のある患者 70 人(症例)と疾患のない 230 人(対照)を比較しました。表は、各群でリスク因子に曝露された人数を示しています。この曝露のオッズ比 OR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。

a = 43b = 101c = 27d = 129
OR =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
検査前40%検査後?p′LR−

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ある患者の疾患の検査前確率は 40% です。感度 90%、特異度 86% の検査の結果は 負 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

検査前 40%Se = 90%Sp = 86%負
p′ = %
3.記述統計ふつう
2025303540455055

データの標本標準偏差 s を求めなさい:55, 20, 41, 48, 21, 57, 28。

n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 60、標準偏差 5 の正規分布に従います。55 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 60σ = 5x = 55
z =
5.信頼区間ふつう
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E90%

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1:100 台、平均 61 h、既知の標準偏差 17 h。機種 2:50 台、平均 50 h、既知の標準偏差 20 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n₁ = 100x̄₁ = 61 hσ₁ = 17 hn₂ = 50x̄₂ = 50 hσ₂ = 20 h90%
上限 = h
6.信頼区間むずかしい
p ≈ 0.4, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0390%

予備調査によると、製品の約 0.4 が不良品です。 割合の 90% 信頼区間の誤差の幅を 0.03 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか?

p ≈ 0.4E = 0.0390%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.0642.064t = ?df = 24

2 つの指導法を比べます。グループ 1:6 人の学生、平均点 45.5、標準偏差 8。グループ 2:20 人の学生、平均点 42.1、標準偏差 3。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂(グループ 1 − グループ 2)として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。

n₁ = 6x̄₁ = 45.5s₁ = 8n₂ = 20x̄₂ = 42.1s₂ = 3
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
z −1.9601.96

81 回の測定の標本平均は 104 です。母標準偏差は 15 です。平均の 95% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 104σ = 15n = 8195%
U =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: OR = 2.03

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

曝露のオッズ

症例: 43/27 = 1.593
対照: 101/129 = 0.7829

オッズ比

OR = (43·129)/(101·27) = 2.034 ≈ 2.03

答え

OR = 2.03

OR が1より大きい:曝露は症例のほうに多くみられます。

2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: p′ = 7.2 %

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

尤度比

LR− = (1 − 0.9)/0.86 = 0.1163

検査前オッズ

0.4/(1 − 0.4) = 0.6667

検査後オッズ

0.6667·0.1163 = 0.07752

検査後確率

p′ = 0.07752/(1 + 0.07752) = 0.07194 ≈ 7.2%

答え

p′ = 7.2%
3.記述統計

答え: s = 15.65

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 270/7 = 38.57

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 16.43² + (−18.57)² + 2.429² + 9.429² + (−17.57)² + 18.43² + (−10.57)² = 1470

標準偏差

s = √(1470/6) = 15.65

答え

s = 15.65
4.記述統計

答え: z = −1

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (55 − 60)/5 = −1

答え

z = −1
5.信頼区間

答え: 上限 = 16.43 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 61 − 50 = 11

標準誤差

SE = √(17²/100 + 20²/50) = 3.3

誤差の幅

E = 1.645·3.3 = 5.429

区間

11 ± 5.429 → [5.571, 16.43]

答え

上限 = 16.43 h

区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。

6.信頼区間

答え: n = 722

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n について解く

n = 1.645²·0.4·0.6/0.03² = 721.6

切り上げる

n = 722

答え

n = 722
7.仮説検定と信頼区間

答え: t = 1.615

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

プールした分散

sp² = (5·8² + 19·3²)/24 = 20.46
sp = 4.523

標準誤差

SE = 4.523·√(1/6 + 1/20) = 2.105

検定統計量

t = (45.5 − 42.1)/2.105 = 1.615

答え

t = 1.615

df = 24 のとき、両側 5% の臨界値は 2.064 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: U = 107.3

平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。

誤差の幅

E = 1.96·15/√81 = 3.267

区間の端

U = 104 + 3.267 = 107.3

答え

U = 107.3

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