1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
症例 対照 曝露あり 125 330 a b 曝露なし 205 270 c d
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 症例対照研究で、疾患のある患者 330 人（症例）と疾患のない 600 人（対照）を比較しました。表は、各群でリスク因子に曝露された人数を示しています。この曝露のオッズ比 OR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 125 b = 330 c = 205 d = 270
OR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある患者の疾患の検査前確率は 20% です。感度 61%、特異度 75% の検査の結果は 正 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
検査前 20% Se = 61% Sp = 75% 正
p′ =
3. 記述統計 ふつう
35 40 45 50 55
データの標本標準偏差 s を求めなさい：56, 55, 57, 47, 40, 34。
n = 6
s =
4. 記述統計 むずかしい
試験の点数は平均 50、標準偏差 15 の正規分布に従います。42.5 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 50 σ = 15 x = 42.5
z =
5. 信頼区間 ふつう
μ₁ − μ₂ 0 L U = ? x̄₁ − x̄₂ E 99%
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：100 台、平均 69.5 h、既知の標準偏差 7 h。機種 2：40 台、平均 59 h、既知の標準偏差 11 h。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。
n₁ = 100 x̄₁ = 69.5 h σ₁ = 7 h n₂ = 40 x̄₂ = 59 h σ₂ = 11 h 99%
上限 =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 15 L σ = ? s = 5.5 95%
機械加工した 15 本の軸の直径の標本標準偏差は 5.5 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 14 のとき、χ² 分布の 2.5% は 5.629 より下に、2.5% は 26.119 より上にあります。
n = 15 s = 5.5 µm χ² = 5.629, 26.119
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
2 つの指導法を比べます。グループ 1：15 人の学生、平均点 93.5、標準偏差 10.5。グループ 2：16 人の学生、平均点 86.5、標準偏差 10。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
n₁ = 15 x̄₁ = 93.5 s₁ = 10.5 n₂ = 16 x̄₂ = 86.5 s₂ = 10
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
ある臨床試験で、治療 A の患者 120 人中 42 人、治療 B の患者 100 人中 45 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
x₁ = 42 n₁ = 120 x₂ = 45 n₂ = 100
z =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: OR = 0.5
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
曝露のオッズ 症例: 125/205 = 0.6098
対照: 330/270 = 1.222
オッズ比 OR = (125·270)/(330·205) = 0.4989 ≈ 0.5
OR が1より小さい：曝露は症例のほうに少なく、防御的な効果を示唆します。
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: p′ = 37.9 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
尤度比 LR+ = 0.61/(1 − 0.75) = 2.44
検査後確率 p′ = 0.61/(1 + 0.61) = 0.3789 ≈ 37.9%
3. 記述統計
答え: s = 9.538
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = 7.833² + 6.833² + 8.833² + (−1.167)² + (−8.167)² + (−14.17)² = 454.8
4. 記述統計
答え: z = −0.5
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する z = (42.5 − 50)/15 = −0.5
5. 信頼区間
答え: 上限 = 15.33 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値 x̄₁ − x̄₂ = 69.5 − 59 = 10.5
標準誤差 SE = √(7²/100 + 11²/40) = 1.875
区間 10.5 ± 4.83 → [5.67, 15.33]
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
6. 信頼区間
答え: σ = 8.674 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 14·5.5² = 423.5
σ² の限界 423.5/26.119 = 16.21
423.5/5.629 = 75.24
σ の 95% 区間：[4.027, 8.674] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.901
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
プールした分散 sp ² = (14·10.5² + 15·10²)/29 = 104.9
sp = 10.24
標準誤差 SE = 10.24·√(1/15 + 1/16) = 3.682
検定統計量 t = (93.5 − 86.5)/3.682 = 1.901
df = 29 のとき、両側 5% の臨界値は 2.045 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: z = −1.51
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
標本比率 p̂₁ = 42/120 = 0.35
p̂₂ = 45/100 = 0.45
p̂ = 87/220 = 0.3955
H₀ のもとでの標準誤差 SE = √(0.3955·0.6045·(1/120 + 1/100)) = 0.0662
検定統計量 z = (0.35 − 0.45)/0.0662 = −1.51
|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。