1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
検査 疾患あり 疾患なし 合計 正 43 305 348 a b 負 27 825 852 c d 合計 70 1130 1200
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 新しい検査を、ある研究で基準となる標準検査と比較しました（2 × 2 表を参照）。 陰性尤度比 LR− を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 43 b = 305 c = 27 d = 825
LR− =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
CER 38% EER ? RRR 32%
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある治療は、イベントのリスクを相対的に 32% 減らします（RRR = 32%）。ある患者群では、治療しない場合のリスク（CER）は5年間で 38% です。5年間でイベントを1件防ぐのに必要な治療必要数 NNT を求めてください。 患者数の整数に切り上げます。
RRR = 32% CER = 38%
NNT =
3. 記述統計 ふつう
10 15 20 25 30 35 40 45 50
データの標本標準偏差 s を求めなさい：50, 10, 49, 35, 40, 22, 23。
n = 7
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 60、標準偏差 12 の正規分布に従います。67.2 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 60 σ = 12 x = 67.2
P =
5. 信頼区間 ふつう
x̄ E₁ = 7.6 95%, n = 100 x̄ E₂ = ? 99%, n = 25
σ が既知のもとで 100 個の観測値に基づく平均の 95% 信頼区間の誤差の幅は 7.6 です。 25 個の観測値に基づく 99% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？
95% n₁ = 100 E₁ = 7.6 99% n₂ = 25
E₂ =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 21 L σ = ? s = 7.3 95%
機械加工した 21 本の軸の直径の標本標準偏差は 7.3 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 20 のとき、χ² 分布の 2.5% は 9.591 より下に、2.5% は 34.17 より上にあります。
n = 21 s = 7.3 µm χ² = 9.591, 34.17
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
学生 36 人の標本の平均点は 191.3、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 200 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 200 x̄ = 191.3 s = 20 n = 36
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
H₀: μ = 200 対 H₁: μ < 200 の片側 z 検定を、α = 0.05、標本サイズ 25 で行います。標準偏差は 7.5 であることがわかっています。実際の平均は 197.9 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 200 μ = 197.9 σ = 7.5 n = 25 α = 0.05
β =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: LR− = 0.53
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
感度と特異度 Se = 43/70 = 0.6143
Sp = 825/1130 = 0.7301
陰性尤度比 LR− = (1 − 0.6143)/0.7301 = 0.5283 ≈ 0.53
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: NNT = 9
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
治療必要数（NNT） NNT = 1/0.1216 = 8.224 → 9
同じ相対効果でも、ベースラインのリスクが高いほど NNT は小さくなります。
3. 記述統計
答え: s = 14.99
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = 17.29² + (−22.71)² + 16.29² + 2.286² + 7.286² + (−10.71)² + (−9.714)² = 1347
4. 記述統計
答え: P = 0.7257
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(0.6) = 0.7257
P = 0.7257
5. 信頼区間
答え: E₂ = 19.98
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比 E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(100/25) = 2.629
6. 信頼区間
答え: σ = 10.54 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 20·7.3² = 1066
σ² の限界 1066/34.17 = 31.19
1066/9.591 = 111.1
σ の 95% 区間：[5.585, 10.54] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.61
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差 SE = 20/√36 = 20/6 = 3.333
検定統計量 t = (191.3 − 200)/3.333 = −2.61
t = −2.61
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: β = 59.68 %
検定の検出力： 検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均 SE = 7.5/√25 = 1.5
x̄c = 200 − 1.645·1.5 = 197.5
真の平均のもとでの z z = (197.5 − 197.9)/1.5 = −0.245
第 2 種の誤り 検出力 = P(Z < −0.245) = 40.32%
β = 100% − 40.32% = 59.68%