1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
イベントあり イベントなし 合計 治療 13 157 170 a b 対照 40 270 310 c d
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ランダム化比較試験で、170 人の患者が新しい治療を、310 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム（脳卒中などの望ましくないイベント） があった人数を示しています。 相対リスク減少 RRR を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
治療: 13/170 対照: 40/310
RRR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
検査 疾患あり 疾患なし 合計 正 負 ? 合計 10 000
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 10 000 人が、感度 98%、特異度 94% の検査でスクリーニングされます。疾患の有病率は 9% です。 検査で見逃される疾患のある人（偽陰性、FN ）は何人ですか。
N = 10 000 p = 9% Se = 98% Sp = 94%
FN =
3. 記述統計 ふつう
15 20 25 30 35 40 45
データの標本標準偏差 s を求めなさい：13, 16, 20, 13, 12, 46。
n = 6
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 50、標準偏差 10 の正規分布に従います。45 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 50 σ = 10 x = 45
P =
5. 信頼区間 ふつう
x̄ E₁ = 6.6 95%, n = 36 x̄ E₂ = ? 90%, n = 324
σ が既知のもとで 36 個の観測値に基づく平均の 95% 信頼区間の誤差の幅は 6.6 です。 324 個の観測値に基づく 90% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？
95% n₁ = 36 E₁ = 6.6 90% n₂ = 324
E₂ =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 10 L σ = ? s = 9.5 95%
機械加工した 10 本の軸の直径の標本標準偏差は 9.5 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 9 のとき、χ² 分布の 2.5% は 2.7 より下に、2.5% は 19.023 より上にあります。
n = 10 s = 9.5 µm χ² = 2.7, 19.023
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
ある母集団の平均は 50 であると主張されています。母標準偏差は 30 であることがわかっています。144 個の観測値からなる無作為標本の平均は 53.75 です。H₀: μ = 50 対 H₁: μ > 50 を検定します。p 値 p を求めなさい。
μ₀ = 50 σ = 30 n = 144 x̄ = 53.75 H₁: μ > μ₀
p =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
25 回の測定の標本平均は 502.6 です。母標準偏差は 10 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。
x̄ = 502.6 σ = 10 n = 25 99%
L =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: RRR = 40.7 %
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
イベント発生率 EER = 13/170 = 0.07647
CER = 40/310 = 0.129
相対リスク減少 ARR = 0.129 − 0.07647 = 0.05256
RRR = 0.05256/0.129 = 0.4074 ≈ 40.7%
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: FN = 18
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
疾患のある人とない人 10 000·0.09 = 900
10 000 − 900 = 9100
3. 記述統計
答え: s = 13.07
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−7)² + (−4)² + 0² + (−7)² + (−8)² + 26² = 854
4. 記述統計
答え: P = 0.6915
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
5. 信頼区間
答え: E₂ = 1.846
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
誤差の幅の比 E₂/E₁ = (1.645/1.96)·√(36/324) = 0.2798
6. 信頼区間
答え: σ = 17.34 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 9·9.5² = 812.3
σ² の限界 812.3/19.023 = 42.7
812.3/2.7 = 300.8
σ の 95% 区間：[6.534, 17.34] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: p = 0.06681
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
検定統計量 SE = σ/√n = 30/√144 = 2.5
z = (53.75 − 50)/2.5 = 1.5
裾の面積 Φ(1.5) = 0.9332
1 − Φ(1.5) = 0.0668
p > 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されません。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: L = 497.4
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
区間の端 L = 502.6 − 5.152 = 497.4