記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −0.5
標準正規分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085
答え
P = 0.3085
5.信頼区間
答え: 上限 = 81.95
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 5, t = 4.032
誤差の幅
E = 4.032·18.5/√6 = 30.45
区間
51.5 ± 30.45 → [21.05, 81.95]
答え
上限 = 81.95
6.信頼区間
答え: n = 630
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く
n = (1.96·32/2.5)² = 629.4
切り上げる
標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
n = 630
答え
n = 630
7.仮説検定と信頼区間
答え: p = 0.04272
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
検定統計量
SE = σ/√n = 30/√144 = 2.5
z = (104.3 − 100)/2.5 = 1.72
裾の面積
Φ(1.72) = 0.9573
1 − Φ(1.72) = 0.0427
p 値
p = 0.04272
答え
p = 0.04272
p ≤ 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されます。
8.仮説検定と信頼区間
答え: z = −2.083
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.