1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
症例 対照 曝露あり 150 146 a b 曝露なし 150 584 c d
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 症例対照研究で、疾患のある患者 300 人（症例）と疾患のない 730 人（対照）を比較しました。表は、各群でリスク因子に曝露された人数を示しています。この曝露のオッズ比 OR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 150 b = 146 c = 150 d = 584
OR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
検査 疾患あり 疾患なし 合計 正 負 ? 合計 10 000
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 10 000 人が、感度 99%、特異度 97% の検査でスクリーニングされます。疾患の有病率は 17% です。 検査で見逃される疾患のある人（偽陰性、FN ）は何人ですか。
N = 10 000 p = 17% Se = 99% Sp = 97%
FN =
3. 記述統計 ふつう
20 25 30 35 40 45 50
データの標本標準偏差 s を求めなさい：17, 30, 51, 51, 53, 40, 25。
n = 7
s =
4. 記述統計 むずかしい
試験の点数は平均 500、標準偏差 50 の正規分布に従います。520 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 500 σ = 50 x = 520
z =
5. 信頼区間 ふつう
μ₁ − μ₂ 0 L U x̄₁ − x̄₂ E = ? 95%
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：80 台、平均 40 h、既知の標準偏差 14 h。機種 2：40 台、平均 51.5 h、既知の標準偏差 3 h。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 80 x̄₁ = 40 h σ₁ = 14 h n₂ = 40 x̄₂ = 51.5 h σ₂ = 3 h 95%
E =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 11 σ = ? U s = 0.7 95%
機械加工した 11 本の軸の直径の標本標準偏差は 0.7 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 10 のとき、χ² 分布の 2.5% は 3.247 より下に、2.5% は 20.483 より上にあります。
n = 11 s = 0.7 µm χ² = 3.247, 20.483
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
学生 64 人の標本の平均点は 122.1、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 120 x̄ = 122.1 s = 10 n = 64
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
81 回の測定の標本平均は 119.2 です。母標準偏差は 5 です。平均の 95% 信頼区間の下限 L を求めなさい。
x̄ = 119.2 σ = 5 n = 81 95%
L =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: OR = 4
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
曝露のオッズ 症例: 150/150 = 1
対照: 146/584 = 0.25
オッズ比 OR = (150·584)/(146·150) = 4
OR が1より大きい：曝露は症例のほうに多くみられます。
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: FN = 17
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
疾患のある人とない人 10 000·0.17 = 1700
10 000 − 1700 = 8300
3. 記述統計
答え: s = 14.38
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−21.14)² + (−8.143)² + 12.86² + 12.86² + 14.86² + 1.857² + (−13.14)² = 1241
4. 記述統計
答え: z = 0.4
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
5. 信頼区間
答え: E = 3.206 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値 x̄₁ − x̄₂ = 40 − 51.5 = −11.5
標準誤差 SE = √(14²/80 + 3²/40) = 1.636
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
6. 信頼区間
答え: σ = 0.4891 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 10·0.7² = 4.9
σ² の限界 4.9/20.483 = 0.2392
4.9/3.247 = 1.509
σ の 95% 区間：[0.4891, 1.228] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.68
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差 SE = 10/√64 = 10/8 = 1.25
検定統計量 t = (122.1 − 120)/1.25 = 1.68
t = 1.68
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: L = 118.1
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
区間の端 L = 119.2 − 1.089 = 118.1