1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
イベントあり イベントなし 合計 治療 20 120 140 a b 対照 166 754 920 c d
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ランダム化比較試験で、140 人の患者が新しい治療を、920 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム（脳卒中などの望ましくないイベント） があった人数を示しています。 治療によるイベントの相対リスク RR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
治療: 20/140 対照: 166/920
RR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
検査 疾患あり 疾患なし 合計 正 ? 負 合計 10 000
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 10 000 人が、感度 93%、特異度 79% の検査でスクリーニングされます。疾患の有病率は 15% です。 陽性の結果 n₊ は合計で何件と予想されますか。
N = 10 000 p = 15% Se = 93% Sp = 79%
n₊ =
3. 記述統計 ふつう
25 30 35 40
データの標本標準偏差 s を求めなさい：21, 38, 33, 32, 26, 22, 43。
n = 7
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 20 の正規分布に従います。30 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70 σ = 20 x = 30
P =
5. 信頼区間 ふつう
n = 16, sd = 4.2 0 L U d̄ = −6.4 E = ? 90%
16 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は −6.4、標準偏差は 4.2 です。 差の平均の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 16 d̄ = −6.4 sd = 4.2 90% t(15) = 1.753
E =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 16 L σ = ? s = 2.6 95%
機械加工した 16 本の軸の直径の標本標準偏差は 2.6 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 15 のとき、χ² 分布の 2.5% は 6.262 より下に、2.5% は 27.488 より上にあります。
n = 16 s = 2.6 µm χ² = 6.262, 27.488
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
学生 36 人の標本の平均点は 118.3、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 120 x̄ = 118.3 s = 4 n = 36
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
H₀ H₁ μ₀ x̄c μ₀ + 3 α = 0.05 β σ = 30, 検出力 80%, n = ? α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 3 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 30 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.05 検出力 = 80% δ = 3 σ = 30 zα = 1.645 zβ = 0.842
n =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: RR = 0.79
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
イベント発生率 EER = 20/140 = 0.1429
CER = 166/920 = 0.1804
相対リスク RR = 0.1429/0.1804 = 0.7917 ≈ 0.79
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: n₊ = 3180
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
疾患のある人とない人 10 000·0.15 = 1500
10 000 − 1500 = 8500
すべての陽性の結果 TP = 1500·0.93 = 1395
FP = 8500·0.21 = 1785
n₊ = 1395 + 1785 = 3180
3180 件の陽性のうち、疾患があるのは 1395 件だけです（PPV 43.9%）。
3. 記述統計
答え: s = 8.2
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−9.714)² + 7.286² + 2.286² + 1.286² + (−4.714)² + (−8.714)² + 12.29² = 403.4
4. 記述統計
答え: P = 0.9772
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772
5. 信頼区間
答え: E = 1.841 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
誤差の幅 E = 1.753·4.2/√16 = 1.841
6. 信頼区間
答え: σ = 4.024 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 15·2.6² = 101.4
σ² の限界 101.4/27.488 = 3.689
101.4/6.262 = 16.19
σ の 95% 区間：[1.921, 4.024] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.55
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差 SE = 4/√36 = 4/6 = 0.6667
検定統計量 t = (118.3 − 120)/0.6667 = −2.55
t = −2.55
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: n = 619
検定に必要な標本サイズ： 有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く n = ((1.645 + 0.842)·30/3)² = 618.5