記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = (560 − 500)/60 = 1
答え
z = 1
5.信頼区間
答え: 下限 = 48.83
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 12, t = 3.055
誤差の幅
E = 3.055·12/√13 = 10.17
区間
59 ± 10.17 → [48.83, 69.17]
答え
下限 = 48.83
6.信頼区間
答え: 下限 = 0.8005 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
プールした標準偏差
sp² = (7·8.5² + 12·4²)/19 = 36.72
sp = 6.06
誤差の幅
E = 2.093·6.06·√(1/8 + 1/13) = 5.699
区間
6.5 ± 5.699 → [0.8005, 12.2]
答え
下限 = 0.8005 kg
7.仮説検定と信頼区間
答え: t = −1.404
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 5/√36 = 5/6 = 0.8333
検定統計量
t = (48.83 − 50)/0.8333 = −1.404
答え
t = −1.404
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
8.仮説検定と信頼区間
答え: n = 6147
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。