1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
イベントあり イベントなし 合計 治療 111 459 570 a b 対照 120 340 460 c d
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ランダム化比較試験で、570 人の患者が新しい治療を、460 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム（脳卒中などの望ましくないイベント） があった人数を示しています。 イベントを1件防ぐのに必要な治療必要数 NNT を求めてください。 患者数の整数に切り上げます。
治療: 111/570 対照: 120/460
NNT =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
CER 15% EER ? RRR 45%
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある治療は、イベントのリスクを相対的に 45% 減らします（RRR = 45%）。ある患者群では、治療しない場合のリスク（CER）は5年間で 15% です。5年間でイベントを1件防ぐのに必要な治療必要数 NNT を求めてください。 患者数の整数に切り上げます。
RRR = 45% CER = 15%
NNT =
3. 記述統計 ふつう
30 35 40 45 50 55 60
データの標本標準偏差 s を求めなさい：53, 50, 60, 28, 43。
n = 5
s =
4. 記述統計 むずかしい
試験の点数は平均 70、標準偏差 20 の正規分布に従います。54 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 70 σ = 20 x = 54
z =
5. 信頼区間 ふつう
x̄ E₁ = 8.3 90%, n = 25 x̄ E₂ = ? 95%, n = 25
σ が既知のもとで 25 個の観測値に基づく平均の 90% 信頼区間の誤差の幅は 8.3 です。 同じデータから求めた 95% 区間の誤差の幅 E₂ はいくらですか？
90% n₁ = 25 E₁ = 8.3 95%
E₂ =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 10 σ = ? U s = 7.8 95%
機械加工した 10 本の軸の直径の標本標準偏差は 7.8 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 9 のとき、χ² 分布の 2.5% は 2.7 より下に、2.5% は 19.023 より上にあります。
n = 10 s = 7.8 µm χ² = 2.7, 19.023
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
学生 100 人の標本の平均点は 121.2、標本標準偏差は 10 です。H₀: μ = 120 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 120 x̄ = 121.2 s = 10 n = 100
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
H₀: μ = 100 対 H₁: μ < 100 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 64 で行います。標準偏差は 20 であることがわかっています。実際の平均は 92.25 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 100 μ = 92.25 σ = 20 n = 64 α = 0.01
1 − β =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: NNT = 16
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
イベント発生率 EER = 111/570 = 0.1947
CER = 120/460 = 0.2609
治療必要数（NNT） ARR = 0.2609 − 0.1947 = 0.06613
NNT = 1/0.06613 = 15.12 → 16
16 人の患者を治療すると、イベントが約1件防げます。
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: NNT = 15
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
治療必要数（NNT） NNT = 1/0.0675 = 14.81 → 15
同じ相対効果でも、ベースラインのリスクが高いほど NNT は小さくなります。
3. 記述統計
答え: s = 12.15
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = 6.2² + 3.2² + 13.2² + (−18.8)² + (−3.8)² = 590.8
4. 記述統計
答え: z = −0.8
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
5. 信頼区間
答え: E₂ = 9.889
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
誤差の幅の比 E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(25/25) = 1.191
6. 信頼区間
答え: σ = 5.365 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 9·7.8² = 547.6
σ² の限界 547.6/19.023 = 28.78
547.6/2.7 = 202.8
σ の 95% 区間：[5.365, 14.24] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.2
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
検定統計量 t = (121.2 − 120)/1 = 1.2
t = 1.2
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 78.05 %
検定の検出力： 検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均 SE = 20/√64 = 2.5
x̄c = 100 − 2.326·2.5 = 94.19
真の平均のもとでの z z = (94.19 − 92.25)/2.5 = 0.774
電力 検出力 = P(Z < 0.774) = 78.05%
1 − β = 78.05%