1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
検査 疾患あり 疾患なし 合計 正 220 115 335 a b 負 30 1535 1565 c d 合計 250 1650 1900
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 新しい検査を、ある研究で基準となる標準検査と比較しました（2 × 2 表を参照）。 陽性尤度比 LR+ を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 220 b = 115 c = 30 d = 1535
LR+ =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある患者の疾患の検査前確率は 50% です。感度 95%、特異度 60% の検査の結果は 正 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
検査前 50% Se = 95% Sp = 60% 正
p′ =
3. 記述統計 ふつう
15 20 25 30 35 40 45 50 55
データの標本標準偏差 s を求めなさい：16, 29, 50, 12, 55, 32, 12。
n = 7
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 60、標準偏差 8 の正規分布に従います。53.6 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 60 σ = 8 x = 53.6
P =
5. 信頼区間 ふつう
μ₁ − μ₂ 0 L U x̄₁ − x̄₂ E = ? 95%
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：60 台、平均 129 h、既知の標準偏差 10 h。機種 2：40 台、平均 114.5 h、既知の標準偏差 15 h。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 60 x̄₁ = 129 h σ₁ = 10 h n₂ = 40 x̄₂ = 114.5 h σ₂ = 15 h 95%
E =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 25 σ = ? U s = 5 95%
機械加工した 25 本の軸の直径の標本標準偏差は 5 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 24 のとき、χ² 分布の 2.5% は 12.401 より下に、2.5% は 39.364 より上にあります。
n = 25 s = 5 µm χ² = 12.401, 39.364
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
2 つの指導法を比べます。グループ 1：6 人の学生、平均点 68、標準偏差 7.5。グループ 2：11 人の学生、平均点 75.4、標準偏差 4。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
n₁ = 6 x̄₁ = 68 s₁ = 7.5 n₂ = 11 x̄₂ = 75.4 s₂ = 4
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
81 回の測定の標本平均は 98.6 です。母標準偏差は 5 です。平均の 95% 信頼区間の上限 U を求めなさい。
x̄ = 98.6 σ = 5 n = 81 95%
U =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: LR+ = 12.63
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
感度と特異度 Se = 220/250 = 0.88
Sp = 1535/1650 = 0.9303
陽性尤度比 LR+ = 0.88/(1 − 0.9303) = 12.63
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: p′ = 70.4 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
尤度比 LR+ = 0.95/(1 − 0.6) = 2.375
検査後確率 p′ = 2.375/(1 + 2.375) = 0.7037 ≈ 70.4%
3. 記述統計
答え: s = 17.66
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−13.43)² + (−0.4286)² + 20.57² + (−17.43)² + 25.57² + 2.571² + (−17.43)² = 1872
4. 記述統計
答え: P = 0.7881
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(−0.8) = 0.2119
P = 1 − 0.2119 = 0.7881
5. 信頼区間
答え: E = 5.293 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値 x̄₁ − x̄₂ = 129 − 114.5 = 14.5
標準誤差 SE = √(10²/60 + 15²/40) = 2.7
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
6. 信頼区間
答え: σ = 3.904 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
σ² の限界 600/39.364 = 15.24
600/12.401 = 48.38
σ の 95% 区間：[3.904, 6.956] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.688
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
プールした分散 sp ² = (5·7.5² + 10·4²)/15 = 29.42
sp = 5.424
標準誤差 SE = 5.424·√(1/6 + 1/11) = 2.753
検定統計量 t = (68 − 75.4)/2.753 = −2.688
df = 15 のとき、両側 5% の臨界値は 2.131 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: U = 99.69
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。