1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
人数 年 1 470 1 2 440 2 新規症例 10
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 コホートで、複数の群を異なる期間追跡しました（表を参照：各群の人数と追跡年数）。追跡中に 10 件の新規症例が発生しました。罹患率 IR を1000人年あたりで求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
470 × 1 年度 440 × 2 年 10 新規症例
IR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
p (%) NPV (%) 10% NPV = ? 100 練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 あるスクリーニング検査の感度は 88%、特異度は 88% です。有病率が 10% の集団で用いられます。 陰性的中率 NPV を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
Se = 88% Sp = 88% p = 10%
NPV =
3. 記述統計 ふつう
15 20 25 30 35 40 45 50 55
データの標本標準偏差 s を求めなさい：47, 44, 57, 34, 14, 40, 52。
n = 7
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 170、標準偏差 15 の正規分布に従います。192.5 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 170 σ = 15 x = 192.5
P =
5. 信頼区間 ふつう
n = 6, s = 13.5 L U x̄ = 62 E = ? 99%
6 個からなる標本の平均は 62、標準偏差は s = 13.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 6 x̄ = 62 s = 13.5 99% t(5) = 4.032
E =
6. 信頼区間 むずかしい
μ₁ − μ₂, t(15) = 1.753 0 L U x̄₁ − x̄₂ E = ? 90%
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：5 区画、平均収量 96.5 kg、標準偏差 3 kg。区画群 2：12 区画、平均 98.5 kg、標準偏差 2 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 5 x̄₁ = 96.5 s₁ = 3 n₂ = 12 x̄₂ = 98.5 s₂ = 2 90% t(15) = 1.753
E =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1：30 個の部品の標本の平均長さは 112 mm で、ラインの既知の標準偏差は 18 mm です。ライン 2：80 個の部品の標本の平均は 108.6 mm、既知の標準偏差は 7 mm です。差を x̄₁ − x̄₂（ライン 1 − ライン 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。
n₁ = 30 x̄₁ = 112 mm σ₁ = 18 mm n₂ = 80 x̄₂ = 108.6 mm σ₂ = 7 mm
z =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
64 回の測定の標本平均は 75.9 です。母標準偏差は 12 です。平均の 99% 信頼区間の下限 L を求めなさい。
x̄ = 75.9 σ = 12 n = 64 99%
L =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: IR = 7.4 1000人年あたり
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
人年 PY = 470·1 + 440·2 = 1350
罹患率 IR = 10/1350·1000 = 7.4 1000人年あたり
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: NPV = 98.5 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
真陰性と偽陰性（1人あたり） Sp·(1 − p) = 0.88·0.9 = 0.792
(1 − Se)·p = 0.12·0.1 = 0.012
陰性的中率 NPV = 0.792/(0.792 + 0.012) = 0.9851 ≈ 98.5%
3. 記述統計
答え: s = 14.15
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = 5.857² + 2.857² + 15.86² + (−7.143)² + (−27.14)² + (−1.143)² + 10.86² = 1201
4. 記述統計
答え: P = 0.9332
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332
5. 信頼区間
答え: E = 22.22
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値 df = n − 1 = 5, t = 4.032
誤差の幅 E = 4.032·13.5/√6 = 22.22
6. 信頼区間
答え: E = 2.155 kg
差の区間： 推定値 ± 臨界値 × 標準誤差。σ が既知の独立な 2 つの平均では SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) と z を使います。未知の分散が等しい場合は、プールした s_p と自由度 n₁ + n₂ − 2 の t を使います。対応のあるデータでは差を扱います：d̄ ± t·s_d/√n。
プールした標準偏差 sp ² = (4·3² + 11·2²)/15 = 5.333
sp = 2.309
誤差の幅 E = 1.753·2.309·√(1/5 + 1/12) = 2.155
7. 仮説検定と信頼区間
答え: z = 1.006
仮説検定： 検定統計量 =（推定値 − H₀ のもとでの値）/（H₀ のもとでの標準誤差）。p 値は、H₀ が正しいと仮定したとき、観測されたもの以上に極端な統計量が得られる確率です：片側の H₁ では片側の裾の面積、両側の H₁ では裾の面積の 2 倍です。p ≤ α なら H₀ を棄却します。
差の標準誤差 SE = √(18²/30 + 7²/80) = √11.41 = 3.378
検定統計量 z = (112 − 108.6)/3.378 = 1.006
|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: L = 72.04
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。