1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
Se 60% Sp 74% LR+ = ?
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある検査の感度は 60%、特異度は 74% です。 陽性尤度比 LR+ を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
Se = 60% Sp = 74%
LR+ =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
対照 23% 治療 ?
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 薬を使わない場合、患者の 23% が1年間にある副作用を経験します。この薬はこのリスクを相対リスク RR = 1.45 で高めます。害必要数 NNH を求めてください。副作用が出る患者が1人増えるには、何人の患者が1年間この薬を服用しなければなりませんか。 患者数の整数に切り上げます。
対照 23% RR = 1.45
NNH =
3. 記述統計 ふつう
10 15 20 25 30 35 40 45 50
データの標本標準偏差 s を求めなさい：37, 51, 40, 10, 29, 12, 35。
n = 7
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 100、標準偏差 10 の正規分布に従います。110 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 100 σ = 10 x = 110
P =
5. 信頼区間 ふつう
n = 25, s = 4.5 L U = ? x̄ = 91.5 E 90%
25 個からなる標本の平均は 91.5、標準偏差は s = 4.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 25 x̄ = 91.5 s = 4.5 90% t(24) = 1.711
上限 =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 11 σ = ? U s = 7.8 95%
機械加工した 11 本の軸の直径の標本標準偏差は 7.8 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 10 のとき、χ² 分布の 2.5% は 3.247 より下に、2.5% は 20.483 より上にあります。
n = 11 s = 7.8 µm χ² = 3.247, 20.483
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
2 つの指導法を比べます。グループ 1：7 人の学生、平均点 81.5、標準偏差 4.5。グループ 2：9 人の学生、平均点 84.5、標準偏差 2.5。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
n₁ = 7 x̄₁ = 81.5 s₁ = 4.5 n₂ = 9 x̄₂ = 84.5 s₂ = 2.5
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
H₀ H₁ μ₀ x̄c μ₀ + 5 α = 0.01 β σ = 28, 検出力 95%, n = ? α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 5 単位のずれを検出力 95% で検出しなければなりません。標準偏差は 28 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.01 検出力 = 95% δ = 5 σ = 28 zα = 2.326 zβ = 1.645
n =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: LR+ = 2.31
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
陽性尤度比 LR+ = 0.6/(1 − 0.74) = 2.308 ≈ 2.31
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: NNH = 10
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
絶対リスク増加 ARI = 0.3335 − 0.23 = 0.1035
害必要数（NNH） NNH = 1/0.1035 = 9.662 → 10
3. 記述統計
答え: s = 14.93
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = 6.429² + 20.43² + 9.429² + (−20.57)² + (−1.571)² + (−18.57)² + 4.429² = 1338
4. 記述統計
答え: P = 0.1587
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(1) = 0.8413
P = 1 − 0.8413 = 0.1587
5. 信頼区間
答え: 上限 = 93.04
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値 df = n − 1 = 24, t = 1.711
区間 91.5 ± 1.54 → [89.96, 93.04]
6. 信頼区間
答え: σ = 5.45 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 10·7.8² = 608.4
σ² の限界 608.4/20.483 = 29.7
608.4/3.247 = 187.4
σ の 95% 区間：[5.45, 13.69] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = −1.701
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
プールした分散 sp ² = (6·4.5² + 8·2.5²)/14 = 12.25
sp = 3.5
標準誤差 SE = 3.5·√(1/7 + 1/9) = 1.764
検定統計量 t = (81.5 − 84.5)/1.764 = −1.701
df = 14 のとき、両側 5% の臨界値は 2.145 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: n = 495
検定に必要な標本サイズ： 有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く n = ((2.326 + 1.645)·28/5)² = 494.5