1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
症例 対照 曝露あり 111 356 a b 曝露なし 189 304 c d
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 症例対照研究で、疾患のある患者 300 人（症例）と疾患のない 660 人（対照）を比較しました。表は、各群でリスク因子に曝露された人数を示しています。この曝露のオッズ比 OR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 111 b = 356 c = 189 d = 304
OR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
CER 34% EER ? RRR 46%
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある治療は、イベントのリスクを相対的に 46% 減らします（RRR = 46%）。ある患者群では、治療しない場合のリスク（CER）は5年間で 34% です。5年間でイベントを1件防ぐのに必要な治療必要数 NNT を求めてください。 患者数の整数に切り上げます。
RRR = 46% CER = 34%
NNT =
3. 記述統計 ふつう
10 15 20 25 30 35 40 45
データの標本標準偏差 s を求めなさい：24, 12, 31, 10, 48, 33。
n = 6
s =
4. 記述統計 むずかしい
試験の点数は平均 70、標準偏差 8 の正規分布に従います。66 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 70 σ = 8 x = 66
z =
5. 信頼区間 ふつう
μ₁ − μ₂ 0 L = ? U x̄₁ − x̄₂ E 95%
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：50 台、平均 123 h、既知の標準偏差 11 h。機種 2：30 台、平均 130 h、既知の標準偏差 4 h。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。
n₁ = 50 x̄₁ = 123 h σ₁ = 11 h n₂ = 30 x̄₂ = 130 h σ₂ = 4 h 95%
下限 =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 25 L σ = ? s = 4.7 95%
機械加工した 25 本の軸の直径の標本標準偏差は 4.7 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 24 のとき、χ² 分布の 2.5% は 12.401 より下に、2.5% は 39.364 より上にあります。
n = 25 s = 4.7 µm χ² = 12.401, 39.364
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
学生 49 人の標本の平均点は 100.4、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 100 x̄ = 100.4 s = 4 n = 49
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
H₀: μ = 100 対 H₁: μ < 100 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 36 で行います。標準偏差は 9 であることがわかっています。実際の平均は 95.65 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 100 μ = 95.65 σ = 9 n = 36 α = 0.10
β =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: OR = 0.5
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
曝露のオッズ 症例: 111/189 = 0.5873
対照: 356/304 = 1.171
オッズ比 OR = (111·304)/(356·189) = 0.5015 ≈ 0.5
OR が1より小さい：曝露は症例のほうに少なく、防御的な効果を示唆します。
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: NNT = 7
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
治療必要数（NNT） NNT = 1/0.1564 = 6.394 → 7
同じ相対効果でも、ベースラインのリスクが高いほど NNT は小さくなります。
3. 記述統計
答え: s = 14.24
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−2.333)² + (−14.33)² + 4.667² + (−16.33)² + 21.67² + 6.667² = 1013
4. 記述統計
答え: z = −0.5
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
5. 信頼区間
答え: 下限 = −10.37 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値 x̄₁ − x̄₂ = 123 − 130 = −7
標準誤差 SE = √(11²/50 + 4²/30) = 1.719
区間 −7 ± 3.368 → [−10.37, −3.632]
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
6. 信頼区間
答え: σ = 6.538 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 24·4.7² = 530.2
σ² の限界 530.2/39.364 = 13.47
530.2/12.401 = 42.75
σ の 95% 区間：[3.67, 6.538] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = 0.7
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差 SE = 4/√49 = 4/7 = 0.5714
検定統計量 t = (100.4 − 100)/0.5714 = 0.7
t = 0.7
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: β = 5.283 %
検定の検出力： 検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均 SE = 9/√36 = 1.5
x̄c = 100 − 1.282·1.5 = 98.08
真の平均のもとでの z z = (98.08 − 95.65)/1.5 = 1.618
第 2 種の誤り 検出力 = P(Z < 1.618) = 94.72%
β = 100% − 94.72% = 5.283%