1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
Se 65% Sp 80% LR+ = ?
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある検査の感度は 65%、特異度は 80% です。 陽性尤度比 LR+ を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
Se = 65% Sp = 80%
LR+ =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 あるスクリーニング検査の感度は 81%、特異度は 89% です。有病率が 1% の集団で用いられます。 陰性的中率 NPV を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
Se = 81% Sp = 89% p = 1%
NPV =
3. 記述統計 ふつう
10 15 20 25 30 35 40 45 50
データの標本標準偏差 s を求めなさい：16, 47, 10, 23, 52, 40。
n = 6
s =
4. 記述統計 むずかしい
試験の点数は平均 50、標準偏差 20 の正規分布に従います。30 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 50 σ = 20 x = 30
z =
5. 信頼区間 ふつう
n = 6, sd = 2 0 L = ? U d̄ = −7.4 E 95%
6 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は −7.4、標準偏差は 2 です。 差の平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 6 d̄ = −7.4 sd = 2 95% t(5) = 2.571
下限 =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 15 L σ = ? s = 7.1 95%
機械加工した 15 本の軸の直径の標本標準偏差は 7.1 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 14 のとき、χ² 分布の 2.5% は 5.629 より下に、2.5% は 26.119 より上にあります。
n = 15 s = 7.1 µm χ² = 5.629, 26.119
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
学生 36 人の標本の平均点は 80.25、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 75 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 75 x̄ = 80.25 s = 15 n = 36
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
H₀ H₁ μ₀ x̄c μ₀ + 5 α = 0.05 β σ = 29, 検出力 95%, n = ? α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 5 単位のずれを検出力 95% で検出しなければなりません。標準偏差は 29 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.05 検出力 = 95% δ = 5 σ = 29 zα = 1.645 zβ = 1.645
n =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: LR+ = 3.25
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
陽性尤度比 LR+ = 0.65/(1 − 0.8) = 3.25
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: NPV = 99.8 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
真陰性と偽陰性（1人あたり） Sp·(1 − p) = 0.89·0.99 = 0.8811
(1 − Se)·p = 0.19·0.01 = 0.0019
陰性的中率 NPV = 0.8811/(0.8811 + 0.0019) = 0.9978 ≈ 99.8%
3. 記述統計
答え: s = 17.36
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−15.33)² + 15.67² + (−21.33)² + (−8.333)² + 20.67² + 8.667² = 1507
4. 記述統計
答え: z = −1
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
5. 信頼区間
答え: 下限 = −9.499 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
区間 −7.4 ± 2.099 → [−9.499, −5.301]
6. 信頼区間
答え: σ = 11.2 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 14·7.1² = 705.7
σ² の限界 705.7/26.119 = 27.02
705.7/5.629 = 125.4
σ の 95% 区間：[5.198, 11.2] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = 2.1
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
検定統計量 t = (80.25 − 75)/2.5 = 2.1
t = 2.1
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: n = 365
検定に必要な標本サイズ： 有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く n = ((1.645 + 1.645)·29/5)² = 364.1