1公式と解法
エビデンスに基づく実践の統計
- 感度と特異度
- Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
- 予測値
- PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
- 精度
- (a + d)/n
- 尤度比
- LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
- 有病率 p での PPV
- Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
- オッズ
- オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
- リスク指標
- RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
- 治療必要数（NNT）
- NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
- オッズ比
- OR = ad/(bc)
- 罹患率
- 新規症例 / 人時
解き方
- 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
- 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
- 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
- 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
- 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。
記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
2演習問題
1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある検査の感度は 89%、特異度は 72% です。 陰性尤度比 LR− を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
Se = 89%Sp = 72%
LR− =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある治療は、イベントのリスクを相対的に 20% 減らします（RRR = 20%）。ある患者群では、治療しない場合のリスク（CER）は5年間で 14% です。5年間でイベントを1件防ぐのに必要な治療必要数 NNT を求めてください。 患者数の整数に切り上げます。
RRR = 20%CER = 14%
NNT =
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：17, 20, 37, 48, 16, 10, 24。
n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
ある量は平均 170、標準偏差 12 の正規分布に従います。182 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 170σ = 12x = 182
P =
5.信頼区間ふつう
7 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 3.9、標準偏差は 6.4 です。 差の平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 7d̄ = 3.9sd = 6.490%t(6) = 1.943
下限 = mmHg
6.信頼区間むずかしい
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：11 区画、平均収量 30.5 kg、標準偏差 6.5 kg。区画群 2：5 区画、平均 31.5 kg、標準偏差 4.5 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n₁ = 11x̄₁ = 30.5s₁ = 6.5n₂ = 5x̄₂ = 31.5s₂ = 4.595%t(14) = 2.145
E = kg
7.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 49 人の標本の平均点は 102.6、標本標準偏差は 15 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 100x̄ = 102.6s = 15n = 49
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀: μ = 100 対 H₁: μ > 100 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 25 で行います。標準偏差は 15 であることがわかっています。実際の平均は 104.5 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 100μ = 104.5σ = 15n = 25α = 0.10
β = %
3溶液
1.エビデンスに基づく実践の統計
答え: LR− = 0.15
尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
陰性尤度比
LR− = (1 − 0.89)/0.72 = 0.1528 ≈ 0.15
2.エビデンスに基づく実践の統計
答え: NNT = 36
予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
治療必要数（NNT）
NNT = 1/0.028 = 35.71 → 36
同じ相対効果でも、ベースラインのリスクが高いほど NNT は小さくなります。
3.記述統計
答え: s = 13.34
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−7.571)² + (−4.571)² + 12.43² + 23.43² + (−8.571)² + (−14.57)² + (−0.5714)² = 1068
4.記述統計
答え: P = 0.1587
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 1 − 0.8413 = 0.1587
5.信頼区間
答え: 下限 = −0.8001 mmHg
差の区間：推定値 ± 臨界値 × 標準誤差。σ が既知の独立な 2 つの平均では SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) と z を使います。未知の分散が等しい場合は、プールした s_p と自由度 n₁ + n₂ − 2 の t を使います。対応のあるデータでは差を扱います：d̄ ± t·s_d/√n。
区間
3.9 ± 4.7 → [−0.8001, 8.6]
6.信頼区間
答え: E = 6.938 kg
差の区間：推定値 ± 臨界値 × 標準誤差。σ が既知の独立な 2 つの平均では SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) と z を使います。未知の分散が等しい場合は、プールした s_p と自由度 n₁ + n₂ − 2 の t を使います。対応のあるデータでは差を扱います：d̄ ± t·s_d/√n。
プールした標準偏差
sp² = (10·6.5² + 4·4.5²)/14 = 35.96
sp = 5.997
誤差の幅
E = 2.145·5.997·√(1/11 + 1/5) = 6.938
7.仮説検定と信頼区間
答え: t = 1.213
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 15/√49 = 15/7 = 2.143
検定統計量
t = (102.6 − 100)/2.143 = 1.213
t = 1.213
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
8.仮説検定と信頼区間
答え: β = 41.37 %
検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均
SE = 15/√25 = 3
x̄c = 100 + 1.282·3 = 103.8
真の平均のもとでの z
z = (103.8 − 104.5)/3 = −0.218
第 2 種の誤り
検出力 = P(Z > −0.218) = 58.63%
β = 100% − 58.63% = 41.37%