エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
イベントありイベントなし合計治療55375430ab対照141689830cd

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ランダム化比較試験で、430 人の患者が新しい治療を、830 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム(脳卒中などの望ましくないイベント) があった人数を示しています。 イベントを1件防ぐのに必要な治療必要数 NNT を求めてください。 患者数の整数に切り上げます。

治療: 55/430対照: 141/830
NNT =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
検査前15%検査後?p′LR+

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ある患者の疾患の検査前確率は 15% です。感度 68%、特異度 83% の検査の結果は 正 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

検査前 15%Se = 68%Sp = 83%正
p′ = %
3.記述統計ふつう
15202530354045505560

データの標本標準偏差 s を求めなさい:60, 48, 14, 54, 15。

n = 5
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 50、標準偏差 12 の正規分布に従います。54.8 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 50σ = 12x = 54.8
z =
5.信頼区間ふつう
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?90%

2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1:100 台、平均 121.5 h、既知の標準偏差 10 h。機種 2:30 台、平均 133 h、既知の標準偏差 20 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。

n₁ = 100x̄₁ = 121.5 hσ₁ = 10 hn₂ = 30x̄₂ = 133 hσ₂ = 20 h90%
E = h
6.信頼区間むずかしい
σ = 29, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 595%

母標準偏差は 29 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか?

σ = 29E = 595%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.0862.086t = ?df = 20

2 つの指導法を比べます。グループ 1:16 人の学生、平均点 30、標準偏差 5。グループ 2:6 人の学生、平均点 33.9、標準偏差 10.5。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂(グループ 1 − グループ 2)として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。

n₁ = 16x̄₁ = 30s₁ = 5n₂ = 6x̄₂ = 33.9s₂ = 10.5
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
−1.961.96z = ?

ある臨床試験で、治療 A の患者 200 人中 140 人、治療 B の患者 150 人中 110 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。

x₁ = 140n₁ = 200x₂ = 110n₂ = 150
z =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: NNT = 24

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

イベント発生率

EER = 55/430 = 0.1279
CER = 141/830 = 0.1699

治療必要数(NNT)

ARR = 0.1699 − 0.1279 = 0.04197
NNT = 1/0.04197 = 23.83 → 24

答え

NNT = 24

24 人の患者を治療すると、イベントが約1件防げます。

2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: p′ = 41.4 %

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

尤度比

LR+ = 0.68/(1 − 0.83) = 4

検査前オッズ

0.15/(1 − 0.15) = 0.1765

検査後オッズ

0.1765·4 = 0.7059

検査後確率

p′ = 0.7059/(1 + 0.7059) = 0.4138 ≈ 41.4%

答え

p′ = 41.4%
3.記述統計

答え: s = 22.05

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 191/5 = 38.2

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 21.8² + 9.8² + (−24.2)² + 15.8² + (−23.2)² = 1945

標準偏差

s = √(1945/4) = 22.05

答え

s = 22.05
4.記述統計

答え: z = 0.4

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (54.8 − 50)/12 = 0.4

答え

z = 0.4
5.信頼区間

答え: E = 6.228 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点推定値

x̄₁ − x̄₂ = 121.5 − 133 = −11.5

標準誤差

SE = √(10²/100 + 20²/30) = 3.786

誤差の幅

E = 1.645·3.786 = 6.228

答え

E = 6.228 h

区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。

6.信頼区間

答え: n = 130

平均の信頼区間:x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.96·29/5)² = 129.2

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 130

答え

n = 130
7.仮説検定と信頼区間

答え: t = −1.197

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

プールした分散

sp² = (15·5² + 5·10.5²)/20 = 46.31
sp = 6.805

標準誤差

SE = 6.805·√(1/16 + 1/6) = 3.258

検定統計量

t = (30 − 33.9)/3.258 = −1.197

答え

t = −1.197

df = 20 のとき、両側 5% の臨界値は 2.086 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: z = −0.6831

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

標本比率

p̂₁ = 140/200 = 0.7
p̂₂ = 110/150 = 0.7333
p̂ = 250/350 = 0.7143

H₀ のもとでの標準誤差

SE = √(0.7143·0.2857·(1/200 + 1/150)) = 0.0488

検定統計量

z = (0.7 − 0.7333)/0.0488 = −0.6831

答え

z = −0.6831

|z| < 1.96 なので、有意水準 5%(両側)で H₀ は棄却されません。

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