1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
人数 年 1 340 1 2 100 2 新規症例 22
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 コホートで、複数の群を異なる期間追跡しました（表を参照：各群の人数と追跡年数）。追跡中に 22 件の新規症例が発生しました。罹患率 IR を1000人年あたりで求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
340 × 1 年度 100 × 2 年 22 新規症例
IR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
対照 4% 治療 ?
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 薬を使わない場合、患者の 4% が1年間にある副作用を経験します。この薬はこのリスクを相対リスク RR = 1.76 で高めます。害必要数 NNH を求めてください。副作用が出る患者が1人増えるには、何人の患者が1年間この薬を服用しなければなりませんか。 患者数の整数に切り上げます。
対照 4% RR = 1.76
NNH =
3. 記述統計 ふつう
15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
データの標本標準偏差 s を求めなさい：21, 60, 14, 46, 44。
n = 5
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 8 の正規分布に従います。86 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70 σ = 8 x = 86
P =
5. 信頼区間 ふつう
n = 7, s = 15 L = ? U x̄ = 58 E 99%
7 個からなる標本の平均は 58、標準偏差は s = 15 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 7 x̄ = 58 s = 15 99% t(6) = 3.707
下限 =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 30 σ = ? U s = 7.2 95%
機械加工した 30 本の軸の直径の標本標準偏差は 7.2 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 29 のとき、χ² 分布の 2.5% は 16.047 より下に、2.5% は 45.722 より上にあります。
n = 30 s = 7.2 µm χ² = 16.047, 45.722
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
2 つの指導法を比べます。グループ 1：9 人の学生、平均点 114.5、標準偏差 3。グループ 2：13 人の学生、平均点 103.8、標準偏差 11.5。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。
n₁ = 9 x̄₁ = 114.5 s₁ = 3 n₂ = 13 x̄₂ = 103.8 s₂ = 11.5
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
64 回の測定の標本平均は 501.6 です。母標準偏差は 5 です。平均の 95% 信頼区間の下限 L を求めなさい。
x̄ = 501.6 σ = 5 n = 64 95%
L =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: IR = 40.7 1000人年あたり
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
罹患率 IR = 22/540·1000 = 40.7 1000人年あたり
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: NNH = 33
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
絶対リスク増加 ARI = 0.0704 − 0.04 = 0.0304
害必要数（NNH） NNH = 1/0.0304 = 32.89 → 33
3. 記述統計
答え: s = 19
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−16)² + 23² + (−23)² + 9² + 7² = 1444
4. 記述統計
答え: P = 0.02275
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(2) = 0.9772
P = 1 − 0.9772 = 0.02275
5. 信頼区間
答え: 下限 = 36.98
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値 df = n − 1 = 6, t = 3.707
区間 58 ± 21.02 → [36.98, 79.02]
6. 信頼区間
答え: σ = 5.734 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 29·7.2² = 1503
σ² の限界 1503/45.722 = 32.88
1503/16.047 = 93.68
σ の 95% 区間：[5.734, 9.679] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = 2.709
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
プールした分散 sp ² = (8·3² + 12·11.5²)/20 = 82.95
sp = 9.108
標準誤差 SE = 9.108·√(1/9 + 1/13) = 3.949
検定統計量 t = (114.5 − 103.8)/3.949 = 2.709
df = 20 のとき、両側 5% の臨界値は 2.086 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: L = 500.4
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
区間の端 L = 501.6 − 1.225 = 500.4