記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 1.25
標準正規分布表
Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056
答え
P = 0.1056
5.信頼区間
答え: 上限 = 113.7
平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値
df = n − 1 = 20, t = 1.725
誤差の幅
E = 1.725·19/√21 = 7.152
区間
106.5 ± 7.152 → [99.35, 113.7]
答え
上限 = 113.7
6.信頼区間
答え: E = 7.725 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
プールした標準偏差
sp² = (4·9² + 11·8²)/15 = 68.53
sp = 8.278
誤差の幅
E = 1.753·8.278·√(1/5 + 1/12) = 7.725
答え
E = 7.725 kg
7.仮説検定と信頼区間
答え: t = 0.7
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 10/√49 = 10/7 = 1.429
検定統計量
t = (501 − 500)/1.429 = 0.7
答え
t = 0.7
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。
8.仮説検定と信頼区間
答え: z = 1.106
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.