記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = −2
標準正規分布表
Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772
答え
P = 0.9772
5.信頼区間
答え: 下限 = 6.859 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 108.5 − 98.5 = 10
標準誤差
SE = √(11²/50 + 7²/40) = 1.909
誤差の幅
E = 1.645·1.909 = 3.141
区間
10 ± 3.141 → [6.859, 13.14]
答え
下限 = 6.859 h
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
6.信頼区間
答え: n = 1083
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く
n = 1.645²·0.5·0.5/0.025² = 1082
切り上げる
n = 1083
答え
n = 1083
7.仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.625
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
標準誤差
SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333
検定統計量
t = (116.5 − 120)/1.333 = −2.625
答え
t = −2.625
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
8.仮説検定と信頼区間
答え: n = 664
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。