エビデンスに基づく実践:直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数(NNT)
NNT = 1/ARR(切り上げ); NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR(切り上げ)とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z(母集団の σ が既知)と t(標本の s しかなく、自由度 n − 1)のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅:E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間:x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します:(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば(p が α より小さければ)H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
症例人年曝露あり6227400曝露なし974600

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 コホート研究で、曝露群は 7400 人年で 622 件の新規症例、非曝露群は 4600 人年で 97 件の新規症例でした。罹患率比 IRR(曝露群対非曝露群)を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。

曝露あり: 622/7400 PY曝露なし: 97/4600 PY
IRR =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
検査前50%検査後?p′LR+

練習問題(数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません)。 ある患者の疾患の検査前確率は 50% です。感度 89%、特異度 97% の検査の結果は 正 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合(%)で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

検査前 50%Se = 89%Sp = 97%正
p′ = %
3.記述統計ふつう
1520253035404550

データの標本標準偏差 s を求めなさい:28, 40, 15, 54, 19, 52。

n = 6
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 50、標準偏差 15 の正規分布に従います。65 より大きい値の割合 P はいくつですか?

μ = 50σ = 15x = 65
P =
5.信頼区間ふつう
n = 10, sd​ = 5.10L = ?Ud̄ = 3.5E90%

10 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後(mmHg)の平均は 3.5、標準偏差は 5.1 です。 差の平均の 90% 信頼区間の下限を求めなさい。

n = 10d̄ = 3.5sd = 5.190%t(9) = 1.833
下限 = mmHg
6.信頼区間むずかしい
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0195%

不良品の割合について事前には何もわかっていません。 割合の 95% 信頼区間の誤差の幅を 0.01 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか?

p = 0.5E = 0.0195%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−1.88p = ?

ある母集団の平均は 80 であると主張されています。母標準偏差は 9 であることがわかっています。36 個の観測値からなる無作為標本の平均は 77.18 です。H₀: μ = 80 対 H₁: μ < 80 を検定します。p 値 p を求めなさい。

μ₀ = 80σ = 9n = 36x̄ = 77.18H₁: μ < μ₀
p =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
z −1.9601.96

100 回の測定の標本平均は 501.4 です。母標準偏差は 8 です。平均の 95% 信頼区間の上限 U を求めなさい。

x̄ = 501.4σ = 8n = 10095%
U =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: IRR = 3.99

尤度比とリスク指標:LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です:RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR(切り上げ)。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

罹患率

曝露あり: 622/7400 = 84.05 1000人年あたり
曝露なし: 97/4600 = 21.09 1000人年あたり

率比

IRR = 84.05/21.09 = 3.986 ≈ 3.99

答え

IRR = 3.99
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: p′ = 96.7 %

予測値は有病率に依存します:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと:検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)(切り上げ)。

尤度比

LR+ = 0.89/(1 − 0.97) = 29.67

検査前オッズ

0.5/(1 − 0.5) = 1

検査後オッズ

1·29.67 = 29.67

検査後確率

p′ = 29.67/(1 + 29.67) = 0.9674 ≈ 96.7%

答え

p′ = 96.7%
3.記述統計

答え: s = 16.61

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 208/6 = 34.67

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = (−6.667)² + 5.333² + (−19.67)² + 19.33² + (−15.67)² + 17.33² = 1379

標準偏差

s = √(1379/5) = 16.61

答え

s = 16.61
4.記述統計

答え: P = 0.1587

記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = 1

標準正規分布表

Φ(1) = 0.8413
P = 1 − 0.8413 = 0.1587

答え

P = 0.1587
5.信頼区間

答え: 下限 = 0.5438 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 9, t = 1.833

誤差の幅

E = 1.833·5.1/√10 = 2.956

区間

3.5 ± 2.956 → [0.5438, 6.456]

答え

下限 = 0.5438 mmHg
6.信頼区間

答え: n = 9604

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n について解く

n = 1.96²·0.5·0.5/0.01² = 9604

切り上げる

n = 9604

答え

n = 9604
7.仮説検定と信頼区間

答え: p = 0.03005

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

検定統計量

SE = σ/√n = 9/√36 = 1.5
z = (77.18 − 80)/1.5 = −1.88

裾の面積

Φ(1.88) = 0.9699
1 − Φ(1.88) = 0.0301

p 値

p = 0.03005

答え

p = 0.03005

p ≤ 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されます。

8.仮説検定と信頼区間

答え: U = 503

平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。

誤差の幅

E = 1.96·8/√100 = 1.568

区間の端

U = 501.4 + 1.568 = 503

答え

U = 503

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