記述統計:平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です(n が偶数なら真ん中 2 つの平均)。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する
z = 1
標準正規分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 1 − 0.8413 = 0.1587
答え
P = 0.1587
5.信頼区間
答え: 下限 = 0.5438 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
臨界値
df = 9, t = 1.833
誤差の幅
E = 1.833·5.1/√10 = 2.956
区間
3.5 ± 2.956 → [0.5438, 6.456]
答え
下限 = 0.5438 mmHg
6.信頼区間
答え: n = 9604
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n について解く
n = 1.96²·0.5·0.5/0.01² = 9604
切り上げる
n = 9604
答え
n = 9604
7.仮説検定と信頼区間
答え: p = 0.03005
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
検定統計量
SE = σ/√n = 9/√36 = 1.5
z = (77.18 − 80)/1.5 = −1.88
裾の面積
Φ(1.88) = 0.9699
1 − Φ(1.88) = 0.0301
p 値
p = 0.03005
答え
p = 0.03005
p ≤ 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されます。
8.仮説検定と信頼区間
答え: U = 503
平均の検定:検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します:σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±(臨界値)·(標準誤差)です。