1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
イベントあり イベントなし 合計 治療 48 262 310 a b 対照 199 311 510 c d
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ランダム化比較試験で、310 人の患者が新しい治療を、510 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム（脳卒中などの望ましくないイベント） があった人数を示しています。 治療によるイベントの相対リスク RR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
治療: 48/310 対照: 199/510
RR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 あるスクリーニング検査の感度は 93%、特異度は 81% です。有病率が 5% の集団で用いられます。 陽性的中率 PPV を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
Se = 93% Sp = 81% p = 5%
PPV =
3. 記述統計 ふつう
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
データの標本標準偏差 s を求めなさい：23, 45, 19, 10, 59。
n = 5
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 15 の正規分布に従います。58 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70 σ = 15 x = 58
P =
5. 信頼区間 ふつう
n = 15, s = 7.5 L U = ? x̄ = 114.5 E 95%
15 個からなる標本の平均は 114.5、標準偏差は s = 7.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 15 x̄ = 114.5 s = 7.5 95% t(14) = 2.145
上限 =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 25 σ = ? U s = 6.6 95%
機械加工した 25 本の軸の直径の標本標準偏差は 6.6 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 24 のとき、χ² 分布の 2.5% は 12.401 より下に、2.5% は 39.364 より上にあります。
n = 25 s = 6.6 µm χ² = 12.401, 39.364
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
学生 100 人の標本の平均点は 95.6、標本標準偏差は 20 です。H₀: μ = 100 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 100 x̄ = 95.6 s = 20 n = 100
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
H₀: μ = 50 対 H₁: μ > 50 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 100 で行います。標準偏差は 25 であることがわかっています。実際の平均は 55.5 です。 第 2 種の誤りの確率 β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 50 μ = 55.5 σ = 25 n = 100 α = 0.01
β =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: RR = 0.4
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
イベント発生率 EER = 48/310 = 0.1548
CER = 199/510 = 0.3902
相対リスク RR = 0.1548/0.3902 = 0.3968 ≈ 0.4
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: PPV = 20.5 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
真陽性と偽陽性（1人あたり） Se·p = 0.93·0.05 = 0.0465
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.19·0.95 = 0.1805
陽性的中率 PPV = 0.0465/(0.0465 + 0.1805) = 0.2048 ≈ 20.5%
同じ検査でも、有病率が低いほど PPV は低くなります。
3. 記述統計
答え: s = 20.18
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−8.2)² + 13.8² + (−12.2)² + (−21.2)² + 27.8² = 1629
4. 記述統計
答え: P = 0.2119
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119
5. 信頼区間
答え: 上限 = 118.7
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値 df = n − 1 = 14, t = 2.145
誤差の幅 E = 2.145·7.5/√15 = 4.154
区間 114.5 ± 4.154 → [110.3, 118.7]
6. 信頼区間
答え: σ = 5.153 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 24·6.6² = 1045
σ² の限界 1045/39.364 = 26.56
1045/12.401 = 84.3
σ の 95% 区間：[5.153, 9.182] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.2
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
検定統計量 t = (95.6 − 100)/2 = −2.2
t = −2.2
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| > 1.984 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: β = 55.01 %
検定の検出力： 検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均 SE = 25/√100 = 2.5
x̄c = 50 + 2.326·2.5 = 55.81
真の平均のもとでの z z = (55.81 − 55.5)/2.5 = 0.126
第 2 種の誤り 検出力 = P(Z > 0.126) = 44.99%
β = 100% − 44.99% = 55.01%