1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
症例 対照 曝露あり 116 196 a b 曝露なし 134 364 c d
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 症例対照研究で、疾患のある患者 250 人（症例）と疾患のない 560 人（対照）を比較しました。表は、各群でリスク因子に曝露された人数を示しています。この曝露のオッズ比 OR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 116 b = 196 c = 134 d = 364
OR =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 あるスクリーニング検査の感度は 92%、特異度は 90% です。有病率が 2% の集団で用いられます。 陰性的中率 NPV を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
Se = 92% Sp = 90% p = 2%
NPV =
3. 記述統計 ふつう
20 25 30 35 40 45 50 55
データの標本標準偏差 s を求めなさい：41, 49, 25, 16, 57, 53, 38。
n = 7
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 15 の正規分布に従います。76 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70 σ = 15 x = 76
P =
5. 信頼区間 ふつう
n = 16, s = 6 L = ? U x̄ = 48 E 95%
16 個からなる標本の平均は 48、標準偏差は s = 6 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。
n = 16 x̄ = 48 s = 6 95% t(15) = 2.131
下限 =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 10 L σ = ? s = 5.6 95%
機械加工した 10 本の軸の直径の標本標準偏差は 5.6 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 9 のとき、χ² 分布の 2.5% は 2.7 より下に、2.5% は 19.023 より上にあります。
n = 10 s = 5.6 µm χ² = 2.7, 19.023
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
ある母集団の平均は 100 であると主張されています。母標準偏差は 15 であることがわかっています。25 個の観測値からなる無作為標本の平均は 103.66 です。H₀: μ = 100 対 H₁: μ > 100 を検定します。p 値 p を求めなさい。
μ₀ = 100 σ = 15 n = 25 x̄ = 103.66 H₁: μ > μ₀
p =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
ある臨床試験で、治療 A の患者 100 人中 70 人、治療 B の患者 120 人中 73 人が回復しました。プールした比率を使って、H₀: p₁ = p₂ の検定統計量 z を求めなさい。
x₁ = 70 n₁ = 100 x₂ = 73 n₂ = 120
z =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: OR = 1.61
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
曝露のオッズ 症例: 116/134 = 0.8657
対照: 196/364 = 0.5385
オッズ比 OR = (116·364)/(196·134) = 1.608 ≈ 1.61
OR が1より大きい：曝露は症例のほうに多くみられます。
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: NPV = 99.8 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
真陰性と偽陰性（1人あたり） Sp·(1 − p) = 0.9·0.98 = 0.882
(1 − Se)·p = 0.08·0.02 = 0.0016
陰性的中率 NPV = 0.882/(0.882 + 0.0016) = 0.9982 ≈ 99.8%
3. 記述統計
答え: s = 14.97
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = 1.143² + 9.143² + (−14.86)² + (−23.86)² + 17.14² + 13.14² + (−1.857)² = 1345
4. 記述統計
答え: P = 0.3446
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446
5. 信頼区間
答え: 下限 = 44.8
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値 df = n − 1 = 15, t = 2.131
区間 48 ± 3.196 → [44.8, 51.2]
6. 信頼区間
答え: σ = 10.22 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 9·5.6² = 282.2
σ² の限界 282.2/19.023 = 14.84
282.2/2.7 = 104.5
σ の 95% 区間：[3.852, 10.22] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: p = 0.1112
仮説検定： 検定統計量 =（推定値 − H₀ のもとでの値）/（H₀ のもとでの標準誤差）。p 値は、H₀ が正しいと仮定したとき、観測されたもの以上に極端な統計量が得られる確率です：片側の H₁ では片側の裾の面積、両側の H₁ では裾の面積の 2 倍です。p ≤ α なら H₀ を棄却します。
検定統計量 SE = σ/√n = 15/√25 = 3
z = (103.66 − 100)/3 = 1.22
裾の面積 Φ(1.22) = 0.8888
1 − Φ(1.22) = 0.1112
p > 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されません。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: z = 1.419
仮説検定： 検定統計量 =（推定値 − H₀ のもとでの値）/（H₀ のもとでの標準誤差）。p 値は、H₀ が正しいと仮定したとき、観測されたもの以上に極端な統計量が得られる確率です：片側の H₁ では片側の裾の面積、両側の H₁ では裾の面積の 2 倍です。p ≤ α なら H₀ を棄却します。
標本比率 p̂₁ = 70/100 = 0.7
p̂₂ = 73/120 = 0.6083
p̂ = 143/220 = 0.65
H₀ のもとでの標準誤差 SE = √(0.65·0.35·(1/100 + 1/120)) = 0.06458
検定統計量 z = (0.7 − 0.6083)/0.06458 = 1.419
|z| < 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されません。