1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
検査 疾患あり 疾患なし 合計 正 74 273 347 a b 負 26 667 693 c d 合計 100 940 1040
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 新しい検査を、ある研究で基準となる標準検査と比較しました（2 × 2 表を参照）。 陰性尤度比 LR− を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 74 b = 273 c = 26 d = 667
LR− =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
検査 疾患あり 疾患なし 合計 正 ? 負 合計 10 000
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 10 000 人が、感度 82%、特異度 95% の検査でスクリーニングされます。疾患の有病率は 26% です。 陽性の結果 n₊ は合計で何件と予想されますか。
N = 10 000 p = 26% Se = 82% Sp = 95%
n₊ =
3. 記述統計 ふつう
15 20 25 30 35 40 45 50 55
データの標本標準偏差 s を求めなさい：15, 43, 57, 16, 29, 32。
n = 6
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 100、標準偏差 8 の正規分布に従います。90.4 より小さい値の割合 P はいくつですか？
μ = 100 σ = 8 x = 90.4
P =
5. 信頼区間 ふつう
n = 12, sd = 2.4 0 L U = ? d̄ = 7.2 E 95%
12 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は 7.2、標準偏差は 2.4 です。 差の平均の 95% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 12 d̄ = 7.2 sd = 2.4 95% t(11) = 2.201
上限 =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 16 L σ = ? s = 8.5 95%
機械加工した 16 本の軸の直径の標本標準偏差は 8.5 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の上限 σ を求めなさい。df = 15 のとき、χ² 分布の 2.5% は 6.262 より下に、2.5% は 27.488 より上にあります。
n = 16 s = 8.5 µm χ² = 6.262, 27.488
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
ある母集団の平均は 80 であると主張されています。母標準偏差は 20 であることがわかっています。25 個の観測値からなる無作為標本の平均は 76.32 です。H₀: μ = 80 対 H₁: μ < 80 を検定します。p 値 p を求めなさい。
μ₀ = 80 σ = 20 n = 25 x̄ = 76.32 H₁: μ < μ₀
p =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
σ = 20, n = ? x̄ − E x̄ + E x̄ E = 2 95%
平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2 以下にするには、標本はどれだけ大きくなければなりませんか？標準偏差は 20 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
σ = 20 E = 2 95%
n =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: LR− = 0.37
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
感度と特異度 Se = 74/100 = 0.74
Sp = 667/940 = 0.7096
陰性尤度比 LR− = (1 − 0.74)/0.7096 = 0.3664 ≈ 0.37
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: n₊ = 2502
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
疾患のある人とない人 10 000·0.26 = 2600
10 000 − 2600 = 7400
すべての陽性の結果 TP = 2600·0.82 = 2132
FP = 7400·0.05 = 370
n₊ = 2132 + 370 = 2502
2502 件の陽性のうち、疾患があるのは 2132 件だけです（PPV 85.2%）。
3. 記述統計
答え: s = 16.12
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−17)² + 11² + 25² + (−16)² + (−3)² + 0² = 1300
4. 記述統計
答え: P = 0.1151
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(−1.2) = 0.1151
P = 0.1151
5. 信頼区間
答え: 上限 = 8.725 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
誤差の幅 E = 2.201·2.4/√12 = 1.525
区間 7.2 ± 1.525 → [5.675, 8.725]
6. 信頼区間
答え: σ = 13.16 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 15·8.5² = 1084
σ² の限界 1084/27.488 = 39.43
1084/6.262 = 173.1
σ の 95% 区間：[6.279, 13.16] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: p = 0.1788
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
検定統計量 SE = σ/√n = 20/√25 = 4
z = (76.32 − 80)/4 = −0.92
裾の面積 Φ(0.92) = 0.8212
1 − Φ(0.92) = 0.1788
p > 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されません。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: n = 385
平均の検定： 検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。