1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
検査 疾患あり 疾患なし 合計 正 153 119 272 a b 負 17 231 248 c d 合計 170 350 520
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 新しい検査を、ある研究で基準となる標準検査と比較しました（2 × 2 表を参照）。 陰性尤度比 LR− を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 153 b = 119 c = 17 d = 231
LR− =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある患者の疾患の検査前確率は 5% です。感度 70%、特異度 87% の検査の結果は 正 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
検査前 5% Se = 70% Sp = 87% 正
p′ =
3. 記述統計 ふつう
10 15 20 25 30 35 40 45
データの標本標準偏差 s を求めなさい：10, 31, 34, 11, 48, 13, 22。
n = 7
s =
4. 記述統計 むずかしい
試験の点数は平均 100、標準偏差 12 の正規分布に従います。90.4 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 100 σ = 12 x = 90.4
z =
5. 信頼区間 ふつう
n = 13, s = 8.5 L U x̄ = 33 E = ? 99%
13 個からなる標本の平均は 33、標準偏差は s = 8.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の誤差の幅 E を求めなさい。
n = 13 x̄ = 33 s = 8.5 99% t(12) = 3.055
E =
6. 信頼区間 むずかしい
σ = 36, n = ? x̄ − E x̄ + E x̄ E = 2.5 90%
母標準偏差は 36 です。平均の 90% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？
σ = 36 E = 2.5 90%
n =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
ある母集団の平均は 50 であると主張されています。母標準偏差は 12 であることがわかっています。36 個の観測値からなる無作為標本の平均は 54.28 です。H₀: μ = 50 対 H₁: μ > 50 を検定します。p 値 p を求めなさい。
μ₀ = 50 σ = 12 n = 36 x̄ = 54.28 H₁: μ > μ₀
p =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
H₀ H₁ μ₀ x̄c μ₀ + 2.5 α = 0.05 β σ = 11, 検出力 80%, n = ? α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 2.5 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 11 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.05 検出力 = 80% δ = 2.5 σ = 11 zα = 1.645 zβ = 0.842
n =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: LR− = 0.15
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
感度と特異度 Se = 153/170 = 0.9
Sp = 231/350 = 0.66
陰性尤度比 LR− = (1 − 0.9)/0.66 = 0.1515 ≈ 0.15
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: p′ = 22.1 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
尤度比 LR+ = 0.7/(1 − 0.87) = 5.385
検査前オッズ 0.05/(1 − 0.05) = 0.05263
検査後確率 p′ = 0.2834/(1 + 0.2834) = 0.2208 ≈ 22.1%
3. 記述統計
答え: s = 14.23
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−14.14)² + 6.857² + 9.857² + (−13.14)² + 23.86² + (−11.14)² + (−2.143)² = 1215
4. 記述統計
答え: z = −0.8
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準化する z = (90.4 − 100)/12 = −0.8
5. 信頼区間
答え: E = 7.202
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値 df = n − 1 = 12, t = 3.055
誤差の幅 E = 3.055·8.5/√13 = 7.202
6. 信頼区間
答え: n = 562
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
n について解く n = (1.645·36/2.5)² = 561.1
切り上げる 標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: p = 0.01618
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
検定統計量 SE = σ/√n = 12/√36 = 2
z = (54.28 − 50)/2 = 2.14
裾の面積 Φ(2.14) = 0.9838
1 − Φ(2.14) = 0.0162
p ≤ 0.05 なので、有意水準 5% で H₀ は棄却されます。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: n = 120
検定に必要な標本サイズ： 有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く n = ((1.645 + 0.842)·11/2.5)² = 119.7