エビデンスに基づく実践：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT）
NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
イベントありイベントなし合計治療9161170ab対照78792870cd

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ランダム化比較試験で、170 人の患者が新しい治療を、870 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム（脳卒中などの望ましくないイベント） があった人数を示しています。 絶対リスク減少 ARR を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

治療: 9/170対照: 78/870
ARR = %
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
p (%)PPV (%)30%PPV = ?100

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 あるスクリーニング検査の感度は 92%、特異度は 80% です。有病率が 30% の集団で用いられます。 陽性的中率 PPV を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。

Se = 92%Sp = 80%p = 30%
PPV = %
3.記述統計ふつう
15202530354045

データの標本標準偏差 s を求めなさい：27, 19, 16, 31, 13, 49。

n = 6
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

試験の点数は平均 70、標準偏差 5 の正規分布に従います。67.5 点の z スコア z を求めなさい。

μ = 70σ = 5x = 67.5
z =
5.信頼区間ふつう
n = 8, s = 3.5LU = ?x̄ = 50.5E99%

8 個からなる標本の平均は 50.5、標準偏差は s = 3.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 8x̄ = 50.5s = 3.599%t(7) = 3.499
上限 =
6.信頼区間むずかしい
σ = 26, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.595%

母標準偏差は 26 です。平均の 95% 信頼区間の誤差の幅を 2.5 以下にするには、どれだけの標本サイズ n が必要ですか？

σ = 26E = 2.595%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
−2.2282.228t = ?df = 10

2 つの指導法を比べます。グループ 1：5 人の学生、平均点 77、標準偏差 3。グループ 2：7 人の学生、平均点 74.2、標準偏差 3。母分散が等しいと仮定し、プールした 2 標本 t 検定を使います。差を x̄₁ − x̄₂（グループ 1 − グループ 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 t を求めなさい。

n₁ = 5x̄₁ = 77s₁ = 3n₂ = 7x̄₂ = 74.2s₂ = 3
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
μ₀x̄c

H₀: μ = 500 対 H₁: μ > 500 の片側 z 検定を、α = 0.01、標本サイズ 25 で行います。標準偏差は 2.5 であることがわかっています。実際の平均は 501.55 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。

μ₀ = 500μ = 501.55σ = 2.5n = 25α = 0.01
1 − β = %

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: ARR = 3.7 %

尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

イベント発生率

EER = 9/170 = 0.05294
CER = 78/870 = 0.08966

絶対リスク減少

ARR = 0.08966 − 0.05294 = 0.03671 ≈ 3.7%

答え

ARR = 3.7%
2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: PPV = 66.3 %

予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。

真陽性と偽陽性（1人あたり）

Se·p = 0.92·0.3 = 0.276
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.2·0.7 = 0.14

陽性的中率

PPV = 0.276/(0.276 + 0.14) = 0.6635 ≈ 66.3%

答え

PPV = 66.3%

同じ検査でも、有病率が低いほど PPV は低くなります。

3.記述統計

答え: s = 13.21

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 155/6 = 25.83

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 1.167² + (−6.833)² + (−9.833)² + 5.167² + (−12.83)² + 23.17² = 872.8

標準偏差

s = √(872.8/5) = 13.21

答え

s = 13.21
4.記述統計

答え: z = −0.5

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = (67.5 − 70)/5 = −0.5

答え

z = −0.5
5.信頼区間

答え: 上限 = 54.83

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

臨界値

df = n − 1 = 7, t = 3.499

誤差の幅

E = 3.499·3.5/√8 = 4.33

区間

50.5 ± 4.33 → [46.17, 54.83]

答え

上限 = 54.83
6.信頼区間

答え: n = 416

平均の信頼区間：x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。

n について解く

n = (1.96·26/2.5)² = 415.5

切り上げる

標本サイズは整数であり、切り捨てると誤差の幅が大きくなりすぎます。

n = 416

答え

n = 416
7.仮説検定と信頼区間

答え: t = 1.594

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

プールした分散

sp² = (4·3² + 6·3²)/10 = 9
sp = 3

標準誤差

SE = 3·√(1/5 + 1/7) = 1.757

検定統計量

t = (77 − 74.2)/1.757 = 1.594

答え

t = 1.594

df = 10 のとき、両側 5% の臨界値は 2.228 です。|t| の方が小さいので、H₀ は棄却されません。

8.仮説検定と信頼区間

答え: 1 − β = 78.05 %

検定の検出力：検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

臨界標本平均

SE = 2.5/√25 = 0.5
x̄c = 500 + 2.326·0.5 = 501.2

真の平均のもとでの z

z = (501.2 − 501.55)/0.5 = −0.774

電力

検出力 = P(Z > −0.774) = 78.05%
1 − β = 78.05%

答え

1 − β = 78.05%

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