1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
検査 疾患あり 疾患なし 合計 正 276 402 678 a b 負 34 1088 1122 c d 合計 310 1490 1800
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 新しい検査を、ある研究で基準となる標準検査と比較しました（2 × 2 表を参照）。 陽性尤度比 LR+ を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 276 b = 402 c = 34 d = 1088
LR+ =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
p (%) PPV (%) 15% PPV = ? 100 練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 あるスクリーニング検査の感度は 82%、特異度は 96% です。有病率が 15% の集団で用いられます。 陽性的中率 PPV を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
Se = 82% Sp = 96% p = 15%
PPV =
3. 記述統計 ふつう
20 25 30 35 40 45 50
データの標本標準偏差 s を求めなさい：29, 49, 54, 40, 16。
n = 5
s =
4. 記述統計 むずかしい
試験の点数は平均 500、標準偏差 75 の正規分布に従います。650 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 500 σ = 75 x = 650
z =
5. 信頼区間 ふつう
μ₁ − μ₂ 0 L = ? U x̄₁ − x̄₂ E 99%
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：30 台、平均 74 h、既知の標準偏差 16 h。機種 2：40 台、平均 59 h、既知の標準偏差 10 h。 μ₁ − μ₂ の 99% 信頼区間の下限を求めなさい。
n₁ = 30 x̄₁ = 74 h σ₁ = 16 h n₂ = 40 x̄₂ = 59 h σ₂ = 10 h 99%
下限 =
6. 信頼区間 むずかしい
n = 30 σ = ? U s = 8.7 95%
機械加工した 30 本の軸の直径の標本標準偏差は 8.7 µm です。直径が正規分布に従うと仮定して、母標準偏差の 95% 信頼区間の下限 σ を求めなさい。df = 29 のとき、χ² 分布の 2.5% は 16.047 より下に、2.5% は 45.722 より上にあります。
n = 30 s = 8.7 µm χ² = 16.047, 45.722
σ =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
6 人の従業員が研修の前後にタイピングテストを受けます。各人について差 d = 後 − 前（1 分あたりの単語数）を記録します。差の平均は 5.14、差の標準偏差は 3.6 です。H₀: μd = 0 の対応のある検定統計量 t を求めなさい。
n = 6 d̄ = 5.14 sd = 3.6
t =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
H₀: μ = 500 対 H₁: μ < 500 の片側 z 検定を、α = 0.10、標本サイズ 36 で行います。標準偏差は 15 であることがわかっています。実際の平均は 494 です。 検定の検出力 1 − β をパーセントで求めなさい。
μ₀ = 500 μ = 494 σ = 15 n = 36 α = 0.10
1 − β =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: LR+ = 3.3
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
感度と特異度 Se = 276/310 = 0.8903
Sp = 1088/1490 = 0.7302
陽性尤度比 LR+ = 0.8903/(1 − 0.7302) = 3.3
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: PPV = 78.3 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
真陽性と偽陽性（1人あたり） Se·p = 0.82·0.15 = 0.123
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.04·0.85 = 0.034
陽性的中率 PPV = 0.123/(0.123 + 0.034) = 0.7834 ≈ 78.3%
同じ検査でも、有病率が低いほど PPV は低くなります。
3. 記述統計
答え: s = 15.37
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−8.6)² + 11.4² + 16.4² + 2.4² + (−21.6)² = 945.2
4. 記述統計
答え: z = 2
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
5. 信頼区間
答え: 下限 = 6.443 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
標準誤差 SE = √(16²/30 + 10²/40) = 3.322
区間 15 ± 8.557 → [6.443, 23.56]
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
6. 信頼区間
答え: σ = 6.929 µm
分散の区間： (n − 1)s²/σ² は自由度 n − 1 の χ² 分布に従います。σ² の 95% 区間は、(n − 1)s² を上側の χ² 値（その上に 2.5%）で割った値から、下側の χ² 値（その下に 2.5%）で割った値までです。σ の区間は両方の限界の平方根です。s に関して対称ではありません。
平方和 (n − 1)s² = 29·8.7² = 2195
σ² の限界 2195/45.722 = 48.01
2195/16.047 = 136.8
σ の 95% 区間：[6.929, 11.7] µm。
7. 仮説検定と信頼区間
答え: t = 3.497
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
df = 5 のとき、両側 5% の臨界値は 2.571 です。|t| の方が大きいので、H₀ は棄却されます。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: 1 − β = 86.82 %
検定の検出力： 検出力 = 1 − β は、H₀ が誤っているときに H₀ を棄却する確率です。μ₀ と z_α から境界値 x̄c を求め、真の平均を使って x̄c を超える確率を計算します：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
臨界標本平均 SE = 15/√36 = 2.5
x̄c = 500 − 1.282·2.5 = 496.8
真の平均のもとでの z z = (496.8 − 494)/2.5 = 1.118
電力 検出力 = P(Z < 1.118) = 86.82%
1 − β = 86.82%