1 公式と解法エビデンスに基づく実践の統計
感度と特異度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度 (a + d)/n
尤度比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT） NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比 OR = ad/(bc)
罹患率 新規症例 / 人時 解き方 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。 記述統計
平均 x̄ = Σx/n
標本標準偏差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値 並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア z = (x − μ)/σ
正規分布 ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95% 信頼区間
σ が既知 x̄ ± z·σ/√n
σ が未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ n = (z·σ/E)², rounded up 解き方 z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。 信頼水準に対応する臨界値を求めます。 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。 区間：x̄ ± E。 仮説検定と信頼区間
平均の z 検定 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
平均の t 検定 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定 |z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間 x̄ ± z·σ/√n 解き方 H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。 臨界値と比較するか、p 値を求めます。 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。 2 演習問題1. エビデンスに基づく実践の統計 ふつう
イベントあり イベントなし 合計 治療 113 427 540 a b 対照 263 677 940 c d
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ランダム化比較試験で、540 人の患者が新しい治療を、940 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム（脳卒中などの望ましくないイベント） があった人数を示しています。 イベントを1件防ぐのに必要な治療必要数 NNT を求めてください。 患者数の整数に切り上げます。
治療: 113/540 対照: 263/940
NNT =
2. エビデンスに基づく実践の統計 むずかしい
p (%) PPV (%) 0.5% PPV = ? 100 練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 あるスクリーニング検査の感度は 72%、特異度は 85% です。有病率が 0.5% の集団で用いられます。 陽性的中率 PPV を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
Se = 72% Sp = 85% p = 0.5%
PPV =
3. 記述統計 ふつう
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
データの標本標準偏差 s を求めなさい：10, 57, 58, 38, 41。
n = 5
s =
4. 記述統計 むずかしい
ある量は平均 70、標準偏差 12 の正規分布に従います。88 より大きい値の割合 P はいくつですか？
μ = 70 σ = 12 x = 88
P =
5. 信頼区間 ふつう
n = 13, s = 17.5 L U = ? x̄ = 89 E 99%
13 個からなる標本の平均は 89、標準偏差は s = 17.5 です。母集団はほぼ正規分布に従います。 平均の 99% 信頼区間の上限を求めなさい。
n = 13 x̄ = 89 s = 17.5 99% t(12) = 3.055
上限 =
6. 信頼区間 むずかしい
μ₁ − μ₂, t(14) = 2.145 0 L = ? U x̄₁ − x̄₂ E 95%
2 種類の肥料を試験します。区画群 1：9 区画、平均収量 99.5 kg、標準偏差 2 kg。区画群 2：7 区画、平均 100 kg、標準偏差 1 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。
n₁ = 9 x̄₁ = 99.5 s₁ = 2 n₂ = 7 x̄₂ = 100 s₂ = 1 95% t(14) = 2.145
下限 =
7. 仮説検定と信頼区間 ふつう
2 つの生産ラインで同じ部品をつくっています。ライン 1：100 個の部品の標本の平均長さは 148 mm で、ラインの既知の標準偏差は 3 mm です。ライン 2：60 個の部品の標本の平均は 149.2 mm、既知の標準偏差は 3 mm です。差を x̄₁ − x̄₂（ライン 1 − ライン 2）として、H₀: μ₁ = μ₂ の検定統計量 z を求めなさい。
n₁ = 100 x̄₁ = 148 mm σ₁ = 3 mm n₂ = 60 x̄₂ = 149.2 mm σ₂ = 3 mm
z =
8. 仮説検定と信頼区間 むずかしい
H₀ H₁ μ₀ x̄c μ₀ + 1.5 α = 0.01 β σ = 4, 検出力 80%, n = ? α = 0.01 の片側 z 検定で、平均の 1.5 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 4 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.01 検出力 = 80% δ = 1.5 σ = 4 zα = 2.326 zβ = 0.842
n =
3 溶液1. エビデンスに基づく実践の統計
答え: NNT = 15
尤度比とリスク指標： LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
イベント発生率 EER = 113/540 = 0.2093
CER = 263/940 = 0.2798
治療必要数（NNT） ARR = 0.2798 − 0.2093 = 0.07053
NNT = 1/0.07053 = 14.18 → 15
15 人の患者を治療すると、イベントが約1件防げます。
2. エビデンスに基づく実践の統計
答え: PPV = 2.4 %
予測値は有病率に依存します： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
真陽性と偽陽性（1人あたり） Se·p = 0.72·0.005 = 0.0036
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.15·0.995 = 0.1493
陽性的中率 PPV = 0.0036/(0.0036 + 0.1493) = 0.02355 ≈ 2.4%
同じ検査でも、有病率が低いほど PPV は低くなります。
3. 記述統計
答え: s = 19.46
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗 Σ(x − x̄)² = (−30.8)² + 16.2² + 17.2² + (−2.8)² + 0.2² = 1515
4. 記述統計
答え: P = 0.06681
記述統計： 平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
標準正規分布表 Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681
5. 信頼区間
答え: 上限 = 103.8
平均の信頼区間： x̄ ± 誤差の幅。母集団の σ が既知なら誤差の幅は z·σ/√n、標本標準偏差 s しかなければ自由度 n − 1 の t を使って t·s/√n です。臨界値：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。誤差の幅を E 以下にするには n ≥ (z·σ/E)² が必要で、端数は切り上げます。
臨界値 df = n − 1 = 12, t = 3.055
誤差の幅 E = 3.055·17.5/√13 = 14.83
区間 89 ± 14.83 → [74.17, 103.8]
6. 信頼区間
答え: 下限 = −2.281 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
プールした標準偏差 sp ² = (8·2² + 6·1²)/14 = 2.714
sp = 1.648
誤差の幅 E = 2.145·1.648·√(1/9 + 1/7) = 1.781
区間 −0.5 ± 1.781 → [−2.281, 1.281]
7. 仮説検定と信頼区間
答え: z = −2.449
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差の標準誤差 SE = √(3²/100 + 3²/60) = √0.24 = 0.4899
検定統計量 z = (148 − 149.2)/0.4899 = −2.449
|z| > 1.96 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
8. 仮説検定と信頼区間
答え: n = 72
検定に必要な標本サイズ： 有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く n = ((2.326 + 0.842)·4/1.5)² = 71.37