1公式と解法
エビデンスに基づく実践の統計
- 感度と特異度
- Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
- 予測値
- PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
- 精度
- (a + d)/n
- 尤度比
- LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
- 有病率 p での PPV
- Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
- オッズ
- オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
- リスク指標
- RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
- 治療必要数（NNT）
- NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
- オッズ比
- OR = ad/(bc)
- 罹患率
- 新規症例 / 人時
解き方
- 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
- 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
- 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
- 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
- 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。
記述統計
- 平均
- x̄ = Σx/n
- 標本標準偏差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中央値
- 並べ替えたデータの真ん中の値
- z スコア
- z = (x − μ)/σ
- 正規分布
- ±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%
信頼区間
- σ が既知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ が未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z の臨界値
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 標本サイズ
- n = (z·σ/E)², rounded up
解き方
- z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
- 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
- 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
- 区間：x̄ ± E。
仮説検定と信頼区間
- 平均の z 検定
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 平均の t 検定
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 有意水準 5% の両側検定
- |z| > 1.96 なら H0 を棄却
- 信頼区間
- x̄ ± z·σ/√n
解き方
- H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
- 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
- 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
- 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。
2演習問題
1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 症例対照研究で、疾患のある患者 240 人（症例）と疾患のない 80 人（対照）を比較しました。表は、各群でリスク因子に曝露された人数を示しています。この曝露のオッズ比 OR を求めてください。 小数第 2 位まで四捨五入してください。
a = 48b = 9c = 192d = 71
OR =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ある患者の疾患の検査前確率は 10% です。感度 94%、特異度 98% の検査の結果は 負 でした。疾患の検査後確率 p′ を割合（%）で求めてください。 小数第 1 位まで四捨五入してください。
検査前 10%Se = 94%Sp = 98%負
p′ = %
3.記述統計ふつう
データの標本標準偏差 s を求めなさい：15, 57, 11, 32, 20, 10, 52。
n = 7
s =
4.記述統計むずかしい
試験の点数は平均 60、標準偏差 8 の正規分布に従います。50.4 点の z スコア z を求めなさい。
μ = 60σ = 8x = 50.4
z =
5.信頼区間ふつう
2 つの機種のスマートフォンの電池持続時間を比べます。機種 1：50 台、平均 133 h、既知の標準偏差 15 h。機種 2：80 台、平均 139 h、既知の標準偏差 8 h。 μ₁ − μ₂ の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。
n₁ = 50x̄₁ = 133 hσ₁ = 15 hn₂ = 80x̄₂ = 139 hσ₂ = 8 h90%
上限 = h
6.信頼区間むずかしい
予備調査によると、製品の約 0.3 が不良品です。 割合の 99% 信頼区間の誤差の幅を 0.025 以下にするには、製品をいくつ n 検査する必要がありますか？
p ≈ 0.3E = 0.02599%
n =
7.仮説検定と信頼区間ふつう
学生 16 人の標本の平均点は 497.8、標本標準偏差は 4 です。H₀: μ = 500 に対する検定統計量 t を求めなさい。
μ₀ = 500x̄ = 497.8s = 4n = 16
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 5 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 24 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。
α = 0.05検出力 = 80%δ = 5σ = 24zα = 1.645zβ = 0.842
n =
3溶液
1.エビデンスに基づく実践の統計
答え: OR = 1.97
尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。
曝露のオッズ
症例: 48/192 = 0.25
対照: 9/71 = 0.1268
オッズ比
OR = (48·71)/(9·192) = 1.972 ≈ 1.97
OR が1より大きい：曝露は症例のほうに多くみられます。
2.エビデンスに基づく実践の統計
答え: p′ = 0.7 %
予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。
尤度比
LR− = (1 − 0.94)/0.98 = 0.06122
検査後オッズ
0.1111·0.06122 = 0.006803
検査後確率
p′ = 0.006803/(1 + 0.006803) = 0.006757 ≈ 0.7%
3.記述統計
答え: s = 19.49
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
偏差の 2 乗
Σ(x − x̄)² = (−13.14)² + 28.86² + (−17.14)² + 3.857² + (−8.143)² + (−18.14)² + 23.86² = 2279
4.記述統計
答え: z = −1.2
記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。
5.信頼区間
答え: 上限 = −2.213 h
差の区間：推定値 ± 臨界値 × 標準誤差。σ が既知の独立な 2 つの平均では SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) と z を使います。未知の分散が等しい場合は、プールした s_p と自由度 n₁ + n₂ − 2 の t を使います。対応のあるデータでは差を扱います：d̄ ± t·s_d/√n。
点推定値
x̄₁ − x̄₂ = 133 − 139 = −6
標準誤差
SE = √(15²/50 + 8²/80) = 2.302
区間
−6 ± 3.787 → [−9.787, −2.213]
区間は 0 を含まないので、平均には有意な差があります。
6.信頼区間
答え: n = 2230
比率の信頼区間：p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n)、p̂ = x/n。誤差の幅を E にするには n ≥ z²·p(1 − p)/E² を切り上げた n が必要です。事前の推定値がなければ、n が最大になる p = 0.5 を使います。
n について解く
n = 2.576²·0.3·0.7/0.025² = 2230
7.仮説検定と信頼区間
答え: t = −2.2
平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。
検定統計量
t = (497.8 − 500)/1 = −2.2
t = −2.2
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| > 2.131 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。
8.仮説検定と信頼区間
答え: n = 143
検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。
n について解く
n = ((1.645 + 0.842)·24/5)² = 142.5