エビデンスに基づく実践：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

エビデンスに基づく実践の統計

感度と特異度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
予測値
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
精度
(a + d)/n
尤度比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
有病率 p での PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
オッズ
オッズ = p/(1 − p); p = オッズ/(1 + オッズ); 検査後オッズ = 検査前オッズ × LR
リスク指標
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
治療必要数（NNT）
NNT = 1/ARR（切り上げ）; NNH = 1/(EER − CER)
オッズ比
OR = ad/(bc)
罹患率
新規症例 / 人時

解き方

  1. 計算する前に 2 × 2 表を描き、a、b、c、d を書き入れます。
  2. 感度と特異度は列に沿って、予測値は行に沿って読みます。
  3. 別の有病率では、10 000人を想定し、Se、Sp、有病率で表を埋めます。
  4. 尤度比では、確率をオッズに換算し、掛けて、確率に戻します。
  5. 試験では、まず EER と CER を求め、RR = EER/CER、ARR = CER − EER、NNT = 1/ARR（切り上げ）とします。

記述統計

平均
x̄ = Σx/n
標本標準偏差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中央値
並べ替えたデータの真ん中の値
z スコア
z = (x − μ)/σ
正規分布
±1σ 以内に 68%、±2σ 以内に 95%

信頼区間

σ が既知
x̄ ± z·σ/√n
σ が未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z の臨界値
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
標本サイズ
n = (z·σ/E)², rounded up

解き方

  1. z（母集団の σ が既知）と t（標本の s しかなく、自由度 n − 1）のどちらを使うか判断します。
  2. 信頼水準に対応する臨界値を求めます。
  3. 誤差の幅：E = 臨界値 × 標準偏差/√n。
  4. 区間：x̄ ± E。

仮説検定と信頼区間

平均の z 検定
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
平均の t 検定
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
有意水準 5% の両側検定
|z| > 1.96 なら H0 を棄却
信頼区間
x̄ ± z·σ/√n

解き方

  1. H₀ と H₁ を立て、片側検定か両側検定かを決めます。
  2. 検定統計量を計算します：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)、または s と t を使います。
  3. 臨界値と比較するか、p 値を求めます。
  4. 統計量が臨界値を超えていれば（p が α より小さければ）H₀ を棄却し、結論を言葉で述べます。

2演習問題

1.エビデンスに基づく実践の統計ふつう
イベントありイベントなし合計治療86274360ab対照312468780cd

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 ランダム化比較試験で、360 人の患者が新しい治療を、780 人が対照の治療を受けました。表は、各群で アウトカム（脳卒中などの望ましくないイベント） があった人数を示しています。 イベントを1件防ぐのに必要な治療必要数 NNT を求めてください。 患者数の整数に切り上げます。

治療: 86/360対照: 312/780
NNT =
2.エビデンスに基づく実践の統計むずかしい
検査疾患あり疾患なし合計正?負合計10 000

練習問題（数値は架空のもので、臨床上の指針ではありません）。 10 000 人が、感度 70%、特異度 87% の検査でスクリーニングされます。疾患の有病率は 10% です。 真陽性の結果 TP は何件と予想されますか。

N = 10 000p = 10%Se = 70%Sp = 87%
TP =
3.記述統計ふつう
15202530354045

データの標本標準偏差 s を求めなさい：38, 47, 17, 26, 12。

n = 5
s =
4.記述統計むずかしい
z −2−1012

ある量は平均 170、標準偏差 20 の正規分布に従います。182 より大きい値の割合 P はいくつですか？

μ = 170σ = 20x = 182
P =
5.信頼区間ふつう
n = 12, sd​ = 3.70LU = ?d̄ = −9.8E90%

12 人の患者の血圧を治療の前後に測定します。差 d = 前 − 後（mmHg）の平均は −9.8、標準偏差は 3.7 です。 差の平均の 90% 信頼区間の上限を求めなさい。

n = 12d̄ = −9.8sd = 3.790%t(11) = 1.796
上限 = mmHg
6.信頼区間むずかしい
μ₁ − μ₂, t(24) = 2.0640L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

2 種類の肥料を試験します。区画群 1：12 区画、平均収量 63 kg、標準偏差 1.5 kg。区画群 2：14 区画、平均 71.5 kg、標準偏差 4.5 kg。等分散を仮定します（プールした t、df = n₁ + n₂ − 2）。 μ₁ − μ₂ の 95% 信頼区間の下限を求めなさい。

n₁ = 12x̄₁ = 63s₁ = 1.5n₂ = 14x̄₂ = 71.5s₂ = 4.595%t(24) = 2.064
下限 = kg
7.仮説検定と信頼区間ふつう
t −1.99801.998

学生 64 人の標本の平均点は 51.5、標本標準偏差は 5 です。H₀: μ = 50 に対する検定統計量 t を求めなさい。

μ₀ = 50x̄ = 51.5s = 5n = 64
t =
8.仮説検定と信頼区間むずかしい
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2α = 0.05βσ = 13, 検出力 80%, n = ?

α = 0.05 の片側 z 検定で、平均の 2 単位のずれを検出力 80% で検出しなければなりません。標準偏差は 13 です。最小の標本サイズ n を求めなさい。

α = 0.05検出力 = 80%δ = 2σ = 13zα = 1.645zβ = 0.842
n =

3溶液

1.エビデンスに基づく実践の統計

答え: NNT = 7

尤度比とリスク指標：LR+ = 感度/(1 − 特異度)、LR− = (1 − 感度)/特異度。試験では、EER と CER は治療あり・なしのイベント発生率です：RR = EER/CER、ARR = CER − EER、RRR = ARR/CER、NNT = 1/ARR（切り上げ）。症例対照研究で使えるのはオッズ比 OR = ad/(bc) だけです。罹患率 = 新規症例/人時。

イベント発生率

EER = 86/360 = 0.2389
CER = 312/780 = 0.4

治療必要数（NNT）

ARR = 0.4 − 0.2389 = 0.1611
NNT = 1/0.1611 = 6.207 → 7

答え

NNT = 7

7 人の患者を治療すると、イベントが約1件防げます。

2.エビデンスに基づく実践の統計

答え: TP = 700

予測値は有病率に依存します：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))、NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。尤度比を使うと：検査前オッズ = p/(1 − p)、検査後オッズ = 検査前オッズ × LR、確率 = オッズ/(1 + オッズ)。N 人の集団では、真陽性 = N·p·Se、偽陽性 = N·(1 − p)·(1 − Sp) です。NNT = 1/(CER × RRR)（切り上げ）。

疾患のある人とない人

10 000·0.1 = 1000
10 000 − 1000 = 9000

真陽性

TP = 1000·0.7 = 700

答え

TP = 700
3.記述統計

答え: s = 14.51

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

平均

x̄ = 140/5 = 28

偏差の 2 乗

Σ(x − x̄)² = 10² + 19² + (−11)² + (−2)² + (−16)² = 842

標準偏差

s = √(842/4) = 14.51

答え

s = 14.51
4.記述統計

答え: P = 0.2743

記述統計：平均は合計を n で割ったもの、中央値は並べ替えたデータの真ん中の値です（n が偶数なら真ん中 2 つの平均）。標本標準偏差は s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z スコア z = (x − μ)/σ は、値が平均から標準偏差何個分離れているかを表します。

標準化する

z = 0.6

標準正規分布表

Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答え

P = 0.2743
5.信頼区間

答え: 上限 = −7.882 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

臨界値

df = 11, t = 1.796

誤差の幅

E = 1.796·3.7/√12 = 1.918

区間

−9.8 ± 1.918 → [−11.72, −7.882]

答え

上限 = −7.882 mmHg
6.信頼区間

答え: 下限 = −11.31 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

プールした標準偏差

sp² = (11·1.5² + 13·4.5²)/24 = 12
sp = 3.464

誤差の幅

E = 2.064·3.464·√(1/12 + 1/14) = 2.813

区間

−8.5 ± 2.813 → [−11.31, −5.687]

答え

下限 = −11.31 kg
7.仮説検定と信頼区間

答え: t = 2.4

平均の検定：検定統計量は、標本平均が H₀ で主張された値から標準誤差何個分離れているかを表します：σ が既知なら z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)、標本から推定するなら t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。信頼区間は x̄ ±（臨界値）·（標準誤差）です。

標準誤差

SE = 5/√64 = 5/8 = 0.625

検定統計量

t = (51.5 − 50)/0.625 = 2.4

答え

t = 2.4
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| > 1.998 なので、有意水準 5%（両側）で H₀ は棄却されます。

8.仮説検定と信頼区間

答え: n = 262

検定に必要な標本サイズ：有意水準 α の片側 z 検定で、真のずれ δ を検出力 1 − β で検出するには、標準誤差が δ = (z_α + z_β)·σ/√n を満たす必要があるので、n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² を切り上げます。

n について解く

n = ((1.645 + 0.842)·13/2)² = 261.3

切り上げる

n = 262

答え

n = 262

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