FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 0 から B で 4 kN/m まで直線的に増加する分布荷重が作用する。さらに A から 3 m の位置に集中荷重 P が作用する。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 10 mw₀ = 4 kN/mP = 50 kN 位置 3 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 8 mP = 10 kN 位置 3 mw = 12 kN/m（3 から 7 m まで）

R_A = kN

3.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 20 kN ↓C: 35 kN ↓D: 30 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 FC
13部材 HC

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 25 kN ↓D: 10 kN ↓F: 20 kN ↓G: 15 kN ↓H: 20 kN ↓H: 10 kN ←

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

35 kN @ 6 m8 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 1.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mP = 30 kN 位置 1.5 mw = 4 kN/m（0 から 5 m まで）x = 1.5 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δ_max を求めよ。

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δ_max を求めよ。

P = 4 kNw = 12 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

溶接 I 形断面は、上フランジ 110 × 24 mm、高さ 180 mm・厚さ 8 mm のウェブ、下フランジ 220 × 16 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

上フランジ: 110 × 24 mmウェブ: 8 × 180 mm下フランジ: 220 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 2 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³粘土: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 7 m の過圧密粘土層の C_c = 0.2、C_r = 0.03、e₀ = 1.15 である。中央深さでの有効鉛直応力は 95 kPa であり、圧密降伏応力は 155 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 200 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 7 mC_c = 0.2C_r = 0.03e₀ = 1.15σ′₀ = 95 kPaσ′_p = 155 kPaΔσ = 200 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 19 mm の粘土供試体が 10 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 7.5 m の層をなしている。不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

h_lab = 19 mmt_lab = 10 minH = 7.5 m現場：片面排水

t = 日

17.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 3 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 100 m、内径 200 mm の管内を平均流速 1.9 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

V = 1.9 m/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 15 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 15 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形の砂利の水路の幅は 5.5 m である。水は水深 1.7 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.025、水路床勾配は S = 0.002 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 5.5 my = 1.7 mn = 0.025S = 0.002

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

内径 600 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.6 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。

D = 600 mmn = 0.013V = 0.6 m/s

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 66 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 150 L/s 送っている。ポンプ効率は 85%、これを駆動する電動機の効率は 94% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 150 L/sH = 66 mη_pump = 85%η_motor = 94%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 120 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 26 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 72% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 120 L/sΔz = 26 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

25.貨幣の時間価値ふつう

6 年後に €15 000 が必要です。口座の利率は年 4.8%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €15 0004.8% / 4n = 6

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

29 年間、毎年初めに €5 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 7% です。29 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。

A = €5 000i = 7%n = 29

FV = €

27.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €500 000 です。1 年目の末に €33 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 3% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €500 000CF₁ = €33 000g = 3%r = 8%

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €29 500, €20 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −40 000CF₁ = 29 500CF₂ = 20 000

IRR = %

29.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.9452 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.9452

z =

30.正規分布むずかしい

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。色つきの下位 70% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = 41.67 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

三角形分布荷重の合力

W = ½·4·10 = 20 kN

x̄ = 2L/3 = 6.667 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·6.667 + 50·3

R_B = 28.33 kN

R_A = 70 − 28.33 = 41.67 kN

答え

R_A = 41.67 kN

2.はりの支点反力

答え: R_A = 24.25 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·3 + 12·4·5

R_B = 270/8 = 33.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 33.75 = 24.25 kN

答え

R_A = 24.25 kN

3.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 G

FG と GH は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 30 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 33.75 kN (T), DE: 33.75 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 50 kN (C), HE: 56.25 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 25 kN (T), HC: 18.75 kN (T)

答え

ゼロ部材: CG

4.トラス：節点法

答え: 部材 CG

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 41.25 kN (T), BC: 47.5 kN (T), CD: 47.5 kN (T), DE: 38.75 kN (T), FG: 51.25 kN (C), GH: 48.75 kN (C), AF: 72.48 kN (C), HE: 54.8 kN (C), BF: 31.25 kN (T), CG: 0, DH: 18.75 kN (T), BG: 8.839 kN (C), DG: 12.37 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 65.5 kN, R₂ = 65.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 115, M_C = 198, M_D = 249 kN·m, M_E = 198, M_F = 115, M_G = 0

答え

点 D: M_D = 249 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 42 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN、作用点 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·1.5 + 4·5·2.5

R_B = 95/5 = 19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 19 = 31 kN

x = 1.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 31·1.5 − 4·1.5·0.75 = 42 kN·m

答え

M_x = 42 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ_max = 2.293 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 2.293 mm

答え

δ_max = 2.293 mm

8.はりのたわみ

答え: δ_max = 1.259 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 4000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm, EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·2500³/(48·5.88 × 10¹²) = 0.2214 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 1.038 mm

足し合わせる

δ_max = 0.2214 + 1.038 = 1.259 mm

答え

δ_max = 1.259 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 34.27 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·6000 = 6000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/6000² = 34269 N = 34.27 kN

答え

P_cr = 34.27 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 197.4 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa

答え

σ_cr = 197.4 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 7.391 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

ウェブ: A_w = 18·100 = 1800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·115 + 1800·50)/6600 = 97.27 mm

平行軸の定理

フランジ: 160·30³/12 + 4800·(115 − 97.27)² = 1.868 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 18·100³/12 + 1800·(50 − 97.27)² = 5.522 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.868 × 10⁶ + 5.522 × 10⁶ = 7.391 × 10⁶ mm⁴ = 7.391 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 7.391 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 64.61 × 10⁶ mm⁴

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 2640 mm², y = 208 mm

ウェブ: A = 1440 mm², y = 106 mm

下フランジ: A = 3520 mm², y = 8 mm

図心

ȳ = (2640·208 + 1440·106 + 3520·8)/7600 = 96.04 mm

平行軸の定理

上フランジ: 110·24³/12 + 2640·112² = 3.322 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 8·180³/12 + 1440·9.958² = 4.031 × 10⁶ mm⁴

下フランジ: 220·16³/12 + 3520·88.04² = 2.736 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.322 × 10⁷ + 4.031 × 10⁶ + 2.736 × 10⁷

I_x = 6.461 × 10⁷ mm⁴ = 64.61 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 64.61 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: σ = 35 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15.5·1 + 19.5·1 = 35 kPa

答え

σ = 35 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 63.14 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3

σ = 15.5·1 + 18.5·3 + 17·3 = 122 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 122 − 58.86 = 63.14 kPa

答え

σ′ = 63.14 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 202.8 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 95 + 200 = 295 kPa > 155 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.03·7/(1 + 1.15)·log₁₀(155/95) + 0.2·7/(1 + 1.15)·log₁₀(295/155)

S = 20.77 + 182 = 202.8 mm

答え

S = 202.8 mm

16.圧密沈下

答え: t = 4328 日

排水距離

H_dr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m

H_dr,field = 7.5 m

時間を換算する

t = T_v·H_dr²/c_v。T_v と c_v は室内と現場で同じです。

t_field = 10·(7.5/0.0095)² = 6.233 × 10⁶ min

t_field = 6.233 × 10⁶/1440 = 4328 日

答え

t = 4328 日

17.静水圧

答え: F = 85.84 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·5 = 85.84 kN

答え

F = 85.84 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 3.8 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.75·1.5 = 56.56 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.75 + 0.2813/(3.75·1.5) = 3.8 m

答え

y_cp = 3.8 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 1.656 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 1.9²/(2·9.81) = 0.184 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(100/0.2)·1.9²/(2·9.81) = 1.656 m

答え

h_f = 1.656 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 4.109 m

速度

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

損失係数

f·L/D = 0.015·100/0.1 = 15

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

全損失水頭

h_f = 15·0.1859 = 2.789 m

h_m = 7.1·0.1859 = 1.32 m

Δz = h_f + h_m = 4.109 m

答え

Δz = 4.109 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 17.28 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 5.5·1.7 = 9.35 m²

P = b + 2y = 5.5 + 2·1.7 = 8.9 m

R = A/P = 1.051 m

速度

V = (1/0.025)·1.051^2/3·0.002^1/2 = 1.849 m/s

流量

Q = A·V = 9.35·1.849 = 17.28 m³/s

答え

Q = 17.28 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0007634 m/m

径深

R = D/4 = 0.6/4 = 0.15 m

マニングの式を S について解く

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.6/0.2823)² = 0.0007634

答え

S = 0.0007634

これは 1 km あたり 0.7634 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 121.6 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·66 = 97.12 kW

軸動力

P_shaft = 97.12/0.85 = 114.3 kW

電力

P_el = 114.3/0.94 = 121.6 kW

答え

P_el = 121.6 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 50.98 kW

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 8)·0.3046 = 5.178 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 26 + 5.178 = 31.18 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.12·31.18/0.72 = 50.98 kW

答え

P_shaft = 50.98 kW

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 11266 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.048/4 = 0.012

N = 4·6 = 24

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.331 = €11 265.72

答え

PV = €11 265.72

26.貨幣の時間価値

答え: FV = 467304 €

通常の年金係数

((1 + 0.07)²⁹ − 1)/0.07 = 87.35

期首払い年金

各預け入れは 1 年長く運用されます。

FV = 5 000·87.35·1.07 = €467 303.93

答え

FV = €467 303.93

27.NPV と IRR

答え: NPV = 160000 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

キャッシュフローの価値

PV = 33 000/(0.08 − 0.03) = 660 000.00

NPV

NPV = 660 000.00 − 500 000 = €160 000.00

答え

NPV = €160 000.00

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 16.62 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(15%) = 775.05

NPV(20%) = −1 527.78

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 15 + 5·775.05/(775.05 − (−1 527.78)) = 16.68%

正確な値: NPV(16.62%) = 0 → IRR = 16.62%

答え

IRR = 16.62%

29.正規分布

答え: z = −1.6

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.9452 = 0.0548

z 表を逆に読む

表の中で 0.0548 を見つけ、z を読み取ります。

z = −1.60

答え

z = −1.60

30.正規分布

答え: x = 181.6 cm

左側の面積

Φ(z) = 0.7

表からの z

z ≈ 0.52

元の単位に戻す

x = 178 + 0.52·7 = 181.6 cm

答え

x = 181.6 cm

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