FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 8 mP₁ = 40 kN 位置 2 mP₂ = 50 kN 位置 3 m

R_B = kN

2.はりの支点反力むずかしい

はりは A でピン支点、A から 3 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 2 m の位置に集中荷重 P が作用し、2 m から 5 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 R_A を求めよ。

AB = 3 mAC = 5 mP = 60 kN 位置 2 mw = 3 kN/m（2 から 5 m まで）

R_A = kN

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 45 kN

F_AB = kN

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

D: 40 kN ↓F: 20 kN ↓F: 35 kN →

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 7 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 6 kN/m（0 から 10 m まで）x = 7 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。支点 B における曲げモーメント M_B を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 8.5 mw = 5 kN/m（0 から 8.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 6 m

M_B = kN·m

7.はりのたわみふつう

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 4 m の位置に集中荷重 P が作用する。自由端 B のたわみ δ_B を求めよ。

P = 16 kNa = 4 mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.はりのたわみむずかしい

幅 75 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/250 を超えてはならない。断面の最小の高さ h_req を求めよ。

w = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 75 mm

h_req = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

100 mm × 150 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 45 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 100 mmh = 150 mmd = 60 mm穴の中心: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

溶接 I 形断面は、上フランジ 150 × 24 mm、高さ 260 mm・厚さ 14 mm のウェブ、下フランジ 230 × 10 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

上フランジ: 150 × 24 mmウェブ: 14 × 260 mm下フランジ: 230 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 2 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 9 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³粘土: γ_sat = 17.5 kN/m³

u = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 2.5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.4、C_r = 0.05、e₀ = 0.85 である。中央深さでの有効鉛直応力は 90 kPa であり、圧密降伏応力は 170 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 100 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 2.5 mC_c = 0.4C_r = 0.05e₀ = 0.85σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 100 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 8 m の粘土層の圧密係数は c_v = 0.5 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。平均圧密度 80% に対する時間係数は T_v = 0.567 である。この層が圧密度 80% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 8 mc_v = 0.5 m²/年度U = 80%T_v = 0.567両面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 1000 m、内径 300 mm の管内を平均流速 1.1 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

V = 1.1 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 0.2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 8 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 8 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

台形のれんが積みの水路の底幅は 4 m、側面勾配は 3:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.7 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.015、水路床勾配は S = 0.0005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 4 my = 1.7 mz = 3n = 0.015S = 0.0005

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

幅 3 m の長方形の芝で覆われた土の水路は、水深 2.1 m の等流で 11 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.03。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 11 m³/sb = 3 my = 2.1 mn = 0.03

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 60% のポンプが揚程 26 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 100 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 100 L/sH = 26 mη = 60%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 75 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 9 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 400 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 72% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 75 L/sΔz = 9 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 5η = 72%

P_shaft = kW

25.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 4%、月複利で €3 000 を投資します。4 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €3 0004% / 12n = 4

FV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

年 4.2%、月複利で €12 000 を借り、毎月末に €175 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。

P = €12 000A = €1754.2% / 12

N = 回

27.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €80 000、耐用年数は 5 年、運転費は毎年 €5 000（各年末に支払い）です。資本コストは 6% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C₀ = €80 000M = €5 000n = 5r = 6%

EAC = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €14 500, €25 000, €18 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −40 000CF₁ = 14 500CF₂ = 25 000CF₃ = 18 500

IRR = %

29.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.8665 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.8665

z =

30.正規分布むずかしい

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。色つきの上位 70% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_B = 28.75 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·2 + 50·3

R_B = 230/8 = 28.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 28.75 = 61.25 kN

答え

R_B = 28.75 kN

2.はりの支点反力

答え: R_A = 18.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

分布荷重の合力

W = 3·3 = 9 kN, x̄ = (2 + 5)/2 = 3.5 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·3 = 60·2 + 9·3.5

R_B = 151.5/3 = 50.5 kN

R_A = 69 − 50.5 = 18.5 kN

答え

R_A = 18.5 kN

3.トラス：節点法

答え: F_AB = −41.93 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·1 → C_y = 7.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 7.5 = 37.5 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −37.5/0.8944 = −41.93 kN

答え

F_AB = −41.93 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 51.25 kN (T), BC: 47.5 kN (T), CD: 47.5 kN (T), DE: 43.75 kN (T), FG: 51.25 kN (C), GH: 43.75 kN (C), AF: 22.98 kN (C), HE: 61.87 kN (C), BF: 3.75 kN (C), CG: 0, DH: 43.75 kN (T), BG: 5.303 kN (T), DG: 5.303 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 63 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

x = 7 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 30·7 − 6·7·3.5 = 63 kN·m

答え

M_x = 63 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_B = −15.63 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·8.5 = 42.5 kN、作用点 x̄ = 4.25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·8.5·4.25

R_B = 180.6/6 = 30.1 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42.5 − 30.1 = 12.4 kN

B で切断し、張出し部を残す

張出し部の荷重 w·a は B から a/2 の位置に作用し、はりを支点上で上に凸に曲げます（負の曲げ）。

M_B = −w·a²/2 = −5·2.5²/2 = −15.63 kN·m

答え

M_B = −15.63 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ_B = 19.56 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 16000 N, a = 4000 mm, L = 5000 mm

EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

自由端のたわみ

荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。

δ_P = Pa³/(3EI) = 14.22 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.005333 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 19.56 mm

答え

δ_B = 19.56 mm

8.はりのたわみ

答え: h_req = 229.7 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δ_allow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

必要な断面二次モーメント

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4000⁴/(384·11000·16) = 7.576 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = I_req → h = (12·7.576 × 10⁷/75)^1/3 = 229.7 mm

答え

h_req = 229.7 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: P_cr = 110.2 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·6000 = 6000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/6000² = 110245 N = 110.2 kN

答え

P_cr = 110.2 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 4.441 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/15 = 666.7

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666.7² = 4.441 MPa

答え

σ_cr = 4.441 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 24.35 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (15000·75 − 2827·45)/(15000 − 2827) = 81.97 mm

ȳ まわりの全体の板

100·150³/12 + 15000·−6.968² = 28.85 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·60⁴/64 + 2827·−36.97² = 4.5 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 24.35 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 24.35 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 131 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 3600 mm², y = 282 mm

ウェブ: A = 3640 mm², y = 140 mm

下フランジ: A = 2300 mm², y = 5 mm

図心

ȳ = (3600·282 + 3640·140 + 2300·5)/9540 = 161 mm

平行軸の定理

上フランジ: 150·24³/12 + 3600·121² = 5.285 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 14·260³/12 + 3640·21.04² = 2.212 × 10⁷ mm⁴

下フランジ: 230·10³/12 + 2300·156² = 5.602 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.285 × 10⁷ + 2.212 × 10⁷ + 5.602 × 10⁷

I_x = 1.31 × 10⁸ mm⁴ = 131 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 131 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: u = 9.81 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·1 = 9.81 kPa

答え

u = 9.81 kPa

14.地盤の有効応力

答え: u = 78.48 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·8 = 78.48 kPa

答え

u = 78.48 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 44.77 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 90 + 100 = 190 kPa > 170 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.05·2.5/(1 + 0.85)·log₁₀(170/90) + 0.4·2.5/(1 + 0.85)·log₁₀(190/170)

S = 18.66 + 26.11 = 44.77 mm

答え

S = 44.77 mm

16.圧密沈下

答え: t = 18.14 年

排水距離

H_dr = H/2 = 8/2 = 4 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.567·4²/0.5 = 18.14 年

答え

t = 18.14 年

17.静水圧

答え: F = 88.29 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·6 = 88.29 kN

答え

F = 88.29 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 2.333 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.25·4.5 = 125.2 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·1.5³/12 = 0.8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.25 + 0.8438/(2.25·4.5) = 2.333 m

答え

y_cp = 2.333 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 4.111 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 1.1²/(2·9.81) = 0.06167 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(1000/0.3)·1.1²/(2·9.81) = 4.111 m

答え

h_f = 4.111 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 1.073 m

速度

V = Q/A = 0.008/0.007854 = 1.019 m/s

V²/(2g) = 0.05288 m

損失係数

f·L/D = 0.018·100/0.1 = 18

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.3

全損失水頭

h_f = 18·0.05288 = 0.9519 m

h_m = 2.3·0.05288 = 0.1216 m

Δz = h_f + h_m = 1.073 m

答え

Δz = 1.073 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 23.8 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (4 + 3·1.7)·1.7 = 15.47 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1.7·√(1 + 3²) = 14.75 m

R = A/P = 1.049 m

速度

V = (1/0.015)·1.049^2/3·0.0005^1/2 = 1.539 m/s

流量

Q = A·V = 15.47·1.539 = 23.8 m³/s

答え

Q = 23.8 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.003278 m/m

断面の形状

A = b·y = 3·2.1 = 6.3 m²

P = b + 2y = 3 + 2·2.1 = 7.2 m

R = A/P = 0.875 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·11/(6.3·0.9148) = 0.05726

S = 0.05726² = 0.003278

答え

S = 0.003278

これは 1 km あたり 3.278 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 42.51 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·26 = 25.51 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 25.51/0.6 = 42.51 kW

答え

P_shaft = 42.51 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 19.59 kW

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 5)·0.2905 = 10.17 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 9 + 10.17 = 19.17 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·19.17/0.72 = 19.59 kW

答え

P_shaft = 19.59 kW

25.貨幣の時間価値

答え: FV = 3520 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.04/12 = 0.003333

N = m·n = 12·4 = 48

将来価値

FV = 3 000·(1 + 0.003333)⁴⁸ = 3 000·1.173 = €3 519.60

答え

FV = €3 519.60

26.貨幣の時間価値

答え: N = 79 回

年金の公式を変形する

i = 0.0035

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0.0035/175 = 0.76

対数を使って解く

N = −ln(0.76)/ln(1.004) = 78.55

返済回数を整数に切り上げる

78 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。

N = 79

答え

N = 79 回

27.NPV と IRR

答え: EAC = 23992 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.06⁻⁵)/0.06 = 4.212

年換算した購入価格

80 000/4.212 = 18 991.71

EAC

EAC = 18 991.71 + 5 000 = €23 991.71

答え

EAC = €23 991.71

28.NPV と IRR

答え: IRR = 20.23 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 150.46

NPV(25%) = −2 928.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·150.46/(150.46 − (−2 928.00)) = 20.24%

正確な値: NPV(20.23%) = 0 → IRR = 20.23%

答え

IRR = 20.23%

29.正規分布

答え: z = −1.11

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.8665 = 0.1335

z 表を逆に読む

表の中で 0.1335 を見つけ、z を読み取ります。

z = −1.11

答え

z = −1.11

30.正規分布

答え: x = 174.4 cm

左側の面積

Φ(z) = 0.3

表からの z

z ≈ −0.52

元の単位に戻す

x = 178 − 0.52·7 = 174.4 cm

答え

x = 174.4 cm

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