FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 6 mP₁ = 35 kN 位置 1 mP₂ = 40 kN 位置 2 m

R_B = kN

2.はりの支点反力むずかしい

片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 0 で自由端 B で 12 kN/m まで直線的に増加する分布荷重と、壁から 2.5 m の位置の集中荷重 P が作用する。壁における反力モーメント M_A の大きさを求めよ。

L = 5 mw₀ = 12 kN/mP = 15 kN 位置 2.5 m

M_A = kN·m

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 4 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 20 kN

F_AB = kN

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 55 kN水平荷重 = 25 kN ←

F_AB = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

35 kN @ 3 m8 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP = 10 kN 位置 2 mw = 4 kN/m（0 から 6 m まで）x = 2 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.はりのたわみむずかしい

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。固定端における曲げモーメントの大きさ M_A を求めよ。

L = 3 mw = 6 kN/m

M_A = kN·m

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

100 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 120 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mm穴の中心: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 15 kN·m を受ける。上端の曲げ応力 σ_上端の大きさを求めよ。

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 15 kN·m

σ_上端 = MPa

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 2 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 9 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³粘土: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 7.5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.2、C_r = 0.04、e₀ = 0.95 である。中央深さでの有効鉛直応力は 105 kPa であり、圧密降伏応力は 225 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 240 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 7.5 mC_c = 0.2C_r = 0.04e₀ = 0.95σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 225 kPaΔσ = 240 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 4.5 m の粘土層の圧密係数は c_v = 5 m²/年である。不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。平均圧密度 90% に対する時間係数は T_v = 0.848 である。この層が圧密度 90% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 4.5 mc_v = 5 m²/年度U = 90%T_v = 0.848片面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 100 m、内径 100 mm の水平管内を 1.6 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.028、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.6 m/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 300 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 35 m 高い。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 35 mL = 300 mD = 250 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1.0

Q = L/s

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

台形の芝で覆われた土の水路の底幅は 4 m、側面勾配は 1:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.7 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.03、水路床勾配は S = 0.0015 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 4 my = 1.7 mz = 1n = 0.03S = 0.0015

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

内径 600 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.6 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。

D = 600 mmn = 0.013V = 0.6 m/s

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

試験で、ポンプが揚程 52 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 80 L/s 送り、そのとき軸動力は 68 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 80 L/sH = 52 mP_shaft = 68 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 10 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 3（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 100 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 80 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 3p_tank = 100 kPa

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

9 年後に €5 000 が必要です。口座の利率は年 4.8%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €5 0004.8% / 4n = 9

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

€20 000 のローンを 6 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.8%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €20 0004.8% / 12N = 72

A = €

27.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €60 000 で、1 年目から 6 年目の各年末に €26 000, €13 500, €19 000, €19 000, €16 500, €24 500 を生みます。資本コストは 5% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 26 000CF₂ = 13 500CF₃ = 19 000CF₄ = 19 000CF₅ = 16 500CF₆ = 24 500

DPB = 年

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €10 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €4 500, €5 000, €5 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 5 000CF₃ = 5 500

IRR = %

29.正規分布ふつう

X は平均 250 g、標準偏差 4 g の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 500 g、標準偏差 9 g の正規分布に従います。X + Y が 757.9 g を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 757.9 g

P =

30.正規分布むずかしい

配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。全体の 99% がそれより下にある値 x（第 99 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_B = 19.17 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1 + 40·2

R_B = 115/6 = 19.17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 19.17 = 55.83 kN

答え

R_B = 19.17 kN

2.はりの支点反力

答え: M_A = 137.5 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 R_A と反力モーメント M_A を与えます。ΣF_y = 0 から R_A が、壁まわりのモーメントから M_A = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

三角形分布荷重の合力

W = ½·12·5 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 3.333 m

壁まわりのモーメント

M_A = W·x̄ + P·a = 30·3.333 + 15·2.5 = 137.5 kN·m

答え

M_A = 137.5 kN·m

3.トラス：節点法

答え: F_AB = −5.657 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·4 → C_y = 16 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 16 = 4 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/5.657 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −4/0.7071 = −5.657 kN

答え

F_AB = −5.657 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: F_AB = −48.44 kN

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·3 − 25·4 → C_y = 16.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 16.25 = 38.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −38.75/0.8 = −48.44 kN

答え

F_AB = −48.44 kN (圧縮)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 3 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 31.5 kN, R₂ = 27.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 31.5, M_C = 59, M_D = 78.5 kN·m, M_E = 55, M_F = 27.5, M_G = 0

答え

点 D: M_D = 78.5 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 29.33 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·2 + 4·6·3

R_B = 92/6 = 15.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 34 − 15.33 = 18.67 kN

x = 2 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 18.67·2 − 4·2·1 = 29.33 kN·m

答え

M_x = 29.33 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ = 1.831 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·3.2 × 10¹³) = 1.831 mm

答え

δ = 1.831 mm

8.はりのたわみ

答え: M_A = 6.75 kN·m

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 R_B だけで自由端は R_BL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·3/8 = 6.75 kN

固定端のモーメント

荷重と支点 B の反力による A まわりのモーメント。

M_A = wL²/2 − R_B·L = 27 − 20.25 = 6.75 kN·m

答え

M_A = 6.75 kN·m

9.柱の座屈

答え: P_cr = 5.712 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·3000 = 6000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/6000² = 5712 N = 5.712 kN

答え

P_cr = 5.712 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 3.084 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/15 = 800

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3.084 MPa

答え

σ_cr = 3.084 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 64.71 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (20000·100 − 2827·120)/(20000 − 2827) = 96.71 mm

ȳ まわりの全体の板

100·200³/12 + 20000·3.293² = 66.88 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·60⁴/64 + 2827·23.29² = 2.17 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 64.71 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 64.71 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_上端 = 41.26 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

ウェブ: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·190 + 2880·90)/5680 = 139.3 mm

平行軸の定理

フランジ: 140·20³/12 + 2800·(190 − 139.3)² = 7.292 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 16·180³/12 + 2880·(90 − 139.3)² = 1.477 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.292 × 10⁶ + 1.477 × 10⁷ = 2.207 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 200 − 139.3 = 60.7 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·60.7/2.207 × 10⁷ = 41.26 MPa

答え

σ_上端 = 41.26 MPa

13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 25.69 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·1 + 19.5·1 = 35.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·1 = 9.81 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 35.5 − 9.81 = 25.69 kPa

答え

σ′ = 25.69 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 98.64 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3

σ = 15·3 + 19·3 + 18.5·3 = 157.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 157.5 − 58.86 = 98.64 kPa

答え

σ′ = 98.64 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 193.7 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 105 + 240 = 345 kPa > 225 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.04·7.5/(1 + 0.95)·log₁₀(225/105) + 0.2·7.5/(1 + 0.95)·log₁₀(345/225)

S = 50.92 + 142.8 = 193.7 mm

答え

S = 193.7 mm

16.圧密沈下

答え: t = 3.434 年

排水距離

H_dr = H = 4.5 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·4.5²/5 = 3.434 年

答え

t = 3.434 年

17.静水圧

答え: F = 77.25 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·4.5 = 77.25 kN

答え

F = 77.25 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 1.556 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.5·1.5 = 27.81 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 0.125/(1.5·1.5) = 1.556 m

答え

y_cp = 1.556 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 35.84 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(100/0.1)·1.6²/(2·9.81) = 3.653 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·3.653 = 35840 Pa = 35.84 kPa

答え

Δp = 35.84 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 271.8 L/s

損失係数

f·L/D = 0.015·300/0.25 = 18

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

35 = (18 + 4.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·35/22.4) = 5.537 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 5.537·0.04909 = 0.2718 m³/s = 271.8 L/s

答え

Q = 271.8 L/s

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 13.33 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (4 + 1·1.7)·1.7 = 9.69 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1.7·√(1 + 1²) = 8.808 m

R = A/P = 1.1 m

速度

V = (1/0.03)·1.1^2/3·0.0015^1/2 = 1.376 m/s

流量

Q = A·V = 9.69·1.376 = 13.33 m³/s

答え

Q = 13.33 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0007634 m/m

径深

R = D/4 = 0.6/4 = 0.15 m

マニングの式を S について解く

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.6/0.2823)² = 0.0007634

答え

S = 0.0007634

これは 1 km あたり 0.7634 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: η = 60.01 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·52 = 40.81 kW

効率

η = P_h/P_shaft = 40.81/68 = 60.01%

答え

η = 60.01%

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 24.9 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11.25 + 3)·0.3305 = 4.71 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9.81) = 10.19 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 10.19 + 4.71 = 24.9 m

答え

H = 24.9 m

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 3254 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.048/4 = 0.012

N = 4·9 = 36

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.536 = €3 254.40

答え

PV = €3 254.40

26.貨幣の時間価値

答え: A = 320.2 €

月利と返済回数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·6 = 72

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.7502

A = 20 000·0.004/(1 − 0.7502) = €320.25

答え

A = €320.25

27.NPV と IRR

答え: DPB = 3.421 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 26 000/1.05 = 24 761.90 → Σ = 24 761.90

年度 2: 13 500/1.103 = 12 244.90 → Σ = 37 006.80

年度 3: 19 000/1.158 = 16 412.91 → Σ = 53 419.72

年度 4: 19 000/1.216 = 15 631.35 → Σ = 69 051.06

最後の年の端数

DPB = 3 + 6 580.28/15 631.35 = 3.421

答え

DPB = 3.421 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.079 年）より長くなります。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 22.48 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 405.09

NPV(25%) = −384.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·405.09/(405.09 − (−384.00)) = 22.57%

正確な値: NPV(22.48%) = 0 → IRR = 22.48%

答え

IRR = 22.48%

29.正規分布

答え: P = 0.2119

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

標準化する

z = (757.9 − 750)/9.849 = 0.8

上側確率

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

答え

P = 0.2119

30.正規分布

答え: x = 45.96 min

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

x に戻す

x = 32 + 2.326·6 = 45.96 min

答え

x = 45.96 min

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