FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

地盤の有効応力

全応力
σ = Σγi·hi
間隙水圧
u = γw·(z − zw)
有効応力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最終応力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
過圧密、σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
過圧密比
OCR = σ′p/σ′0
圧密時間
t = Tv·Hdr²/cv
排水距離
Hdr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
径深
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形
A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）
R = D/4
必要な水路勾配
S = (n·Q/(A·R2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値
FV = PV·(1 + i)n
現在価値
PV = FV/(1 + i)n
年に複数の期間
i = r/m, N = m·n
年金現価
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金終価
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

解き方

  1. すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
  2. 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
  3. 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
  4. 答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
均等なキャッシュフロー
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部収益率
NPV = 0 となる r
判断
NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

  1. すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
  2. 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
  3. それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
  4. IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 15 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​ = ?3 m2 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 6 mP1 = 15 kN 位置 3 mP2 = 25 kN 位置 5 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 4 kN/mP = 70 kNQ = 75 kNADCRD​ = ?1 m1 m0.5 m3.5 m

複合ばりは A で壁に固定され、C（A から 2 m）に中間ヒンジをもち、D（A から 6 m）でローラーに支持されている。荷重は A から 2.5 m の位置の集中荷重 P, 部分 CD 全体の等分布荷重 w および A から 1 m の位置の集中荷重 Q である。 ローラーの反力 RD を求めよ。

AC = 2 mAD = 6 mP = 70 kN 位置 2.5 mw = 4 kN/m（2 から 6 m まで）Q = 75 kN 位置 1 m
RD = kN
3.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB15 kN4 m3 m4 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 15 kN
FAB = kN
4.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB30 kN15 kN8 m6 m3 m

節点法を使って部材 AB の軸力 FAB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 6 m鉛直荷重 = 30 kN水平荷重 = 15 kN ←
FAB = kN
5.せん断力と曲げモーメントふつう
12 kN/m45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

45 kN @ 2 m12 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 4 kN/mP = 60 kNAB1 m3 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 4 mP = 60 kN 位置 1 mw = 4 kN/m（0 から 4 m まで）
Mmax = kN·m
7.はりのたわみふつう
P = 13 kNABδ1 m2 m

単純ばりの支点 A から a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 13 kNa = 1 mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 4 kN/mABδ5 m

幅 150 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 150 mm
hreq = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 2.5 md = 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 1.5 md = 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
σcr = MPa
11.図心と断面二次モーメントふつう
240302608x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 240 mmtf = 30 mmtw = 8 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
150 mm150 mm60 mm40 × 40xIx​ = ?

150 mm × 150 mm の板に、幅 40 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 60 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 150 mmh = 150 mm切り欠き: 40 × 40 mm穴の中心: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力ふつう
砂γd​ = 16.5 kN/m³γsat​ = 18.5 kN/m³12 m地下水位Xz = 9 m

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 9 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 18.5 kN/m³
σ = kPa
14.地盤の有効応力むずかしい
砂γd​ = 15.5 kN/m³γsat​ = 19.5 kN/m³4 m粘土γsat​ = 18.5 kN/m³6 m地下水位Xz = 7 m

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 7 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³粘土: γsat = 18.5 kN/m³
σ′ = kPa
15.圧密沈下ふつう
Δσ = 15 kPa砂粘土Cc​ = 0.3, Cr​ = 0.02e0​ = 0.95σ′0​ = 115 kPaσ′p​ = 175 kPa5.5 m地下水位

厚さ 5.5 m の過圧密粘土層の Cc = 0.3、Cr = 0.02、e₀ = 0.95 である。中央深さでの有効鉛直応力は 115 kPa であり、 圧密降伏応力は 175 kPa である。 新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 15 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 5.5 mCc = 0.3Cr = 0.02e0 = 0.95σ′0 = 115 kPaσ′p = 175 kPaΔσ = 15 kPa
S = mm
16.圧密沈下むずかしい
砂粘土H = 8 m8 m砂地下水位

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 20 mm の粘土供試体が 8 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 8 m の層をなしている。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。 現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

hlab = 20 mmtlab = 8 minH = 8 m現場：両面排水
t = 日
17.静水圧ふつう
ゲートd = 2 mH = 2.5 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水圧むずかしい
ゲートd = 2 mH = 1.5 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 1.7 m/sD = 75 mmL = 200 mf = 0.03

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 200 m、内径 75 mm の水平管内を 1.7 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.7 m/sL = 200 mD = 75 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 2Δz = 15 mL = 100 m, D = 250 mm, f = 0.0154× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 15 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 15 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
21.開水路の流れ（マニング）ふつう
b = 3.5 my = 2.4 m2 : 1n = 0.014, S = 0.0005

台形の仕上げのないコンクリートの水路の底幅は 3.5 m、側面勾配は 2:1（水平:鉛直）である。水は水深 2.4 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.014、水路床勾配は S = 0.0005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 3.5 my = 2.4 mz = 2n = 0.014S = 0.0005
Q = m³/s
22.開水路の流れ（マニング）むずかしい
b = 5.5 my = 1 m1.5 : 1n = 0.014, Q = 27 m³/s

底幅 5.5 m、側面勾配 1.5:1（水平:鉛直）の台形の仕上げのないコンクリートの水路は、 水深 1 m の等流で 27 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.014。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 27 m³/sb = 5.5 my = 1 mz = 1.5n = 0.014
S = m/m
23.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 40 L/sH = 54 m

試験で、ポンプが揚程 54 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 40 L/s 送り、そのとき軸動力は 29.4 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 40 L/sH = 54 mPshaft = 29.4 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.ポンプとポンプ動力むずかしい
200 kPa (ゲージ圧)PQ = 50 L/sΔz = 5 mL = 400 m, D = 150 mm, f = 0.015, ΣK = 4

ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 400 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 4（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 200 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 400 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 4ptank = 200 kPa
H = m
25.貨幣の時間価値ふつう
年01234567PV = ?€20 000

7 年後に €20 000 が必要です。口座の利率は年 5%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €20 0005% / 4n = 7
PV = €
26.貨幣の時間価値むずかしい
か月0123…72€12 000A?AAA

€12 000 のローンを 6 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €12 0006% / 12N = 72
A = €
27.NPV と IRRふつう
年0123−30 0009 0009 00011 000

€30 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€9 000, €9 000, €11 000。資本コストは 9% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 9%CF0 = −30 000CF1 = 9 000CF2 = 9 000CF3 = 11 000
NPV = €
28.NPV と IRRむずかしい
年012−40 00029 50018 000

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €29 500, €18 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF0 = −40 000CF1 = 29 500CF2 = 18 000
IRR = %
29.正規分布ふつう
−3−2−10123z−z から z の間の色つき面積 = 0.9625

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.9625 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.9625
z =
30.正規分布むずかしい
μ = 178x = ?90%

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。全体の 90% がそれより下にある値 x（第 90 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 178σ = 7P = 90%
x = cm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 28.33 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 15 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​3 m2 m1 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 15·3 + 25·5
RB = 170/6 = 28.33 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 28.33 = 11.67 kN

答え

RB = 28.33 kN
2.はりの支点反力

答え: RD = 16.75 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。 中間ヒンジは曲げモーメントを伝えられないので、追加の式が 1 つ得られます：ヒンジのどちら側についても、その側の力のヒンジまわりのモーメントは 0 です。

部分 CD

ヒンジにはモーメントがないので、CD だけについての C まわりのモーメントがつり合わなければなりません。

W = 4·4 = 16 kN 位置 2 m 起点 C
ΣMC = 0: RD·4 = 70·0.5 + 16·2
RD = 16.75 kN
VC = 86 − 16.75 = 69.25 kN

答え

RD = 16.75 kN
3.トラス：節点法

答え: FAB = −4.688 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·3 → Cy = 11.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 11.25 = 3.75 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3.75/0.8 = −4.688 kN

答え

FAB = −4.688 kN (圧縮)
4.トラス：節点法

答え: FAB = −29.35 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB30 kN15 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·6 − 15·3 → Cy = 16.88 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 16.88 = 13.13 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/6.708 = 0.4472
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −13.13/0.4472 = −29.35 kN

答え

FAB = −29.35 kN (圧縮)
5.せん断力と曲げモーメント

答え: C (x = 2 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 66 kN, R2 = 51 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 60, MC = 108 kN·m, MD = 99, ME = 78, MF = 45, MG = 0

答え

点 C: MC = 108 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 51 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·1 + 4·4·2
RB = 92/4 = 23 kN
ΣFy = 0: RA = 76 − 23 = 53 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(1⁻) = RA − w·1 = 49 kN
V(1⁺) = 49 − 60 = −11 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

Mmax = RA·1 − w·1²/2 = 53·1 − 4·1²/2 = 51 kN·m

答え

Mmax = 51 kN·m

それは A から x = 1 m の位置に生じます。

7.はりのたわみ

答え: δP = 1.256 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 13000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 13000·1000²·2000²/(3·4.6 × 10¹²·3000) = 1.256 mm

答え

δP = 1.256 mm
8.はりのたわみ

答え: hreq = 242.2 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/300 = 5000/300 = 16.67 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·5000⁴/(384·11000·16.67) = 1.776 × 10⁸ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·1.776 × 10⁸/150)1/3 = 242.2 mm

答え

hreq = 242.2 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: Pcr = 81 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1750² = 80996 N = 81 kN

答え

Pcr = 81 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 21.93 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa

答え

σcr = 21.93 MPa
11.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 46.19 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 240·30 = 7200 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
ウェブ: Aw = 8·260 = 2080 mm², yw = 260/2 = 130 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7200·275 + 2080·130)/9280 = 242.5 mm

平行軸の定理

フランジ: 240·30³/12 + 7200·(275 − 242.5)² = 8.145 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 8·260³/12 + 2080·(130 − 242.5)² = 3.804 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8.145 × 10⁶ + 3.804 × 10⁷ = 4.619 × 10⁷ mm⁴ = 46.19 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 46.19 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 41.59 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (22500·75 − 1600·60)/(22500 − 1600) = 76.15 mm

ȳ まわりの全体の板

150·150³/12 + 22500·−1.148² = 42.22 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

40·40³/12 + 1600·−16.15² = 0.6306 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 41.59 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 41.59 × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力

答え: σ = 164.5 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16.5·1 + 18.5·8 = 164.5 kPa

答え

σ = 164.5 kPa
14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 76.45 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γd·2 + γsat,sand·2 + γsat,clay·3
σ = 15.5·2 + 19.5·2 + 18.5·3 = 125.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γw·(z − zw) = 9.81·5 = 49.05 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 125.5 − 49.05 = 76.45 kPa

答え

σ′ = 76.45 kPa
15.圧密沈下

答え: S = 3.004 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′f = 115 + 15 = 130 kPa ≤ 175 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0.02·5.5/(1 + 0.95)·log₁₀(130/115) = 3.004 mm

答え

S = 3.004 mm
16.圧密沈下

答え: t = 888.9 日

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

排水距離

Hdr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m
Hdr,field = 8/2 = 4 m

時間を換算する

t = Tv·Hdr²/cv。T_v と cv は室内と現場で同じです。

tfield = 8·(4/0.01)² = 1.28 × 10⁶ min
tfield = 1.28 × 10⁶/1440 = 888.9 日

答え

t = 888.9 日
17.静水圧

答え: F = 239.1 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
ゲートd = 2 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·7.5 = 239.1 kN

答え

F = 239.1 kN
18.静水圧

答え: F = 121.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
ゲートd = 2 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·4.5 = 121.4 kN

答え

F = 121.4 kN
19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 115.6 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(200/0.075)·1.7²/(2·9.81) = 11.78 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·11.78 = 115600 Pa = 115.6 kPa

答え

Δp = 115.6 kPa
20.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 257.4 L/s

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失係数

f·L/D = 0.015·100/0.25 = 6
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

15 = (6 + 4.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·15/10.7) = 5.244 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 5.244·0.04909 = 0.2574 m³/s = 257.4 L/s

答え

Q = 257.4 L/s
21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 39.81 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 2·2.4)·2.4 = 19.92 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·2.4·√(1 + 2²) = 14.23 m
R = A/P = 1.4 m

速度

V = (1/0.014)·1.42/3·0.00051/2 = 1.998 m/s

流量

Q = A·V = 19.92·1.998 = 39.81 m³/s

答え

Q = 39.81 m³/s
22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.004141 m/m

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (5.5 + 1.5·1)·1 = 7 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·1·√(1 + 1.5²) = 9.106 m
R = A/P = 0.7688 m

マニングの式を S について解く

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.014·27/(7·0.8392) = 0.06435
S = 0.06435² = 0.004141

答え

S = 0.004141

これは 1 km あたり 4.141 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: η = 72.07 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·54 = 21.19 kW

効率

η = Ph/Pshaft = 21.19/29.4 = 72.07%

答え

η = 72.07%
24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 43.34 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 4)·0.408 = 17.95 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 20.39 + 17.95 = 43.34 m

答え

H = 43.34 m
25.貨幣の時間価値

答え: PV = 14124 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.05/4 = 0.0125
N = 4·7 = 28

現在価値

PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1.416 = €14 124.37

答え

PV = €14 124.37
26.貨幣の時間価値

答え: A = 198.9 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

月利と返済回数

i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·6 = 72

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)−N = 0.6983
A = 12 000·0.005/(1 − 0.6983) = €198.87

答え

A = €198.87
27.NPV と IRR

答え: NPV = −5674 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.09)1 = 9 000/1.09 = 8 256.88
CF2/(1 + 0.09)2 = 9 000/1.188 = 7 575.12
CF3/(1 + 0.09)3 = 11 000/1.295 = 8 494.02

合計する

NPV = €−5 673.98

答え

NPV = €−5 673.98

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 13.42 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(10%) = 1 694.21
NPV(15%) = −737.24

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 10 + 5·1 694.21/(1 694.21 − (−737.24)) = 13.48%
正確な値: NPV(13.42%) = 0 → IRR = 13.42%

答え

IRR = 13.42%
29.正規分布

答え: z = 2.08

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.9625)/2 = 0.9812

z 表を逆に読む

表の中で 0.9812 を見つけ、z を読み取ります。

z = 2.08

答え

z = 2.08
30.正規分布

答え: x = 187 cm

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

x に戻す

x = 178 + 1.282·7 = 186.97 cm

答え

x = 186.97 cm

これは独自の練習教材です。ExamProblems はこの試験を実施する団体とは提携しておらず、その承認も受けていません。試験名は内容を説明するためにのみ使用しています。 FE examはNCEESが実施する試験です。同団体はExamProblemsと提携しておらず、推奨もしていません。

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