FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 0 から B で 4 kN/m まで直線的に増加する分布荷重が作用する。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 10 mw₀ = 4 kN/m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 10 mP = 40 kN 位置 2 mw = 8 kN/m（7 から 9 m まで）

R_B = kN

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 6 m鉛直荷重 = 45 kN

F_BC = kN

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 AC の軸力 F_AC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 3 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 30 kN水平荷重 = 20 kN →

F_AC = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 10 mP₁ = 15 kN 位置 1 mP₂ = 55 kN 位置 3 m

M_max = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 3.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mP = 15 kN 位置 3.5 mw = 6 kN/m（0 から 5 m まで）x = 3.5 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。自由端 B のたわみ δ_B を求めよ。

P = 25 kNa = 1.5 mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δ_max を求めよ。

P = 7 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

100 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 80 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 100 mmh = 200 mmd = 40 mm穴の中心: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

150 mm × 200 mm の板に、幅 40 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 120 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 150 mmh = 200 mm切り欠き: 40 × 50 mm穴の中心: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 9 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

u = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³粘土: γ_sat = 17.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 6.5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.25、C_r = 0.02、e₀ = 0.7 である。中央深さでの有効鉛直応力は 90 kPa であり、圧密降伏応力は 140 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 45 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 6.5 mC_c = 0.25C_r = 0.02e₀ = 0.7σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 140 kPaΔσ = 45 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 20 mm の粘土供試体が 6 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 7 m の層をなしている。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

h_lab = 20 mmt_lab = 6 minH = 7 m現場：両面排水

t = 日

17.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 50 m、内径 50 mm の管内を平均流速 2 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

V = 2 m/sL = 50 mD = 50 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 75 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 75 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形の芝で覆われた土の水路の幅は 3 m である。水は水深 0.5 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.03、水路床勾配は S = 0.005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 3 my = 0.5 mn = 0.03S = 0.005

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

内径 450 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 1 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。

D = 450 mmn = 0.013V = 1 m/s

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 10 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 10 L/s 送っている。ポンプ効率は 75%、これを駆動する電動機の効率は 92% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 10 L/sH = 10 mη_pump = 75%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 75 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 7 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 600 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 75 L/sΔz = 7 mL = 600 mD = 250 mmf = 0.018ΣK = 8

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

€2 000 を年 2%、連続複利で投資します。12 年後の価値 FV を求めなさい。

PV = €2 000r = 2%t = 12

FV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

€15 000 のローンを 3 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.8%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €15 0004.8% / 12N = 36

A = €

27.NPV と IRRふつう

€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€11 000, €14 000, €11 000, €11 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −30 000CF₁ = 11 000CF₂ = 14 000CF₃ = 11 000CF₄ = 11 000

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は今日 €80 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €12 000 で、8 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 4% ずつ増加します。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €80 000CF₁ = €12 000g = 4%n = 8r = 12%

NPV = €

29.正規分布ふつう

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。246 から 255.25 g の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 250σ = 5x₁ = 246x₂ = 255.25

P =

30.正規分布むずかしい

ある集団の男性の身長 X と女性の身長 Y は独立な正規変数です：X は平均 180 cm、標準偏差 10 cm、Y は平均 170 cm、標準偏差 12 cm です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = 6.667 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

三角形分布荷重の合力

W = ½·4·10 = 20 kN

x̄ = 2L/3 = 6.667 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·6.667

R_B = 13.33 kN

R_A = 20 − 13.33 = 6.667 kN

答え

R_A = 6.667 kN

2.はりの支点反力

答え: R_B = 20.8 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN、作用点 x̄ = 8 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·2 + 8·2·8

R_B = 208/10 = 20.8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 20.8 = 35.2 kN

答え

R_B = 20.8 kN

3.トラス：節点法

答え: F_BC = −47.73 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·6 → C_y = 33.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 33.75 = 11.25 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33.75/0.7071 = −47.73 kN

答え

F_BC = −47.73 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: F_AC = 20 kN

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 30·4 + 20·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 30 = 0 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0.8321 = −36.06 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−36.06)·0.5547 = 20 kN

答え

F_AC = 20 kN (引張)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 126 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·1 + 55·3

R_B = 180/10 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 18 = 52 kN

各荷重位置のモーメント

各荷重より左側の部分を残します。

荷重点 P₁: M = R_A·1 = 52·1 = 52 kN·m

荷重点 P₂: M = R_B·7 = 18·7 = 126 kN·m

最大値

M_max = 126 kN·m (荷重点 P₂)

答え

M_max = 126 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 31.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN、作用点 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·3.5 + 6·5·2.5

R_B = 127.5/5 = 25.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 25.5 = 19.5 kN

x = 3.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 19.5·3.5 − 6·3.5·1.75 = 31.5 kN·m

答え

M_x = 31.5 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ_B = 7.175 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 25000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

自由端のたわみ

荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。

δ_P = Pa³/(3EI) = 4.783 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.004783 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 7.175 mm

答え

δ_B = 7.175 mm

8.はりのたわみ

答え: δ_max = 1.159 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 7000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δ_P = PL³/(48EI) = 7000·2000³/(48·4.6 × 10¹²) = 0.2536 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 0.9058 mm

足し合わせる

δ_max = 0.2536 + 0.9058 = 1.159 mm

答え

δ_max = 1.159 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 52.99 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52.99 kN

答え

P_cr = 52.99 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 3.172 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/7.5 = 466.7

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/466.7² = 3.172 MPa

答え

σ_cr = 3.172 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 66 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (20000·100 − 1257·80)/(20000 − 1257) = 101.3 mm

ȳ まわりの全体の板

100·200³/12 + 20000·−1.341² = 66.7 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·40⁴/64 + 1257·−21.34² = 0.698 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 66 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 66 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 98.73 × 10⁶ mm⁴

図心

ȳ = (30000·100 − 2000·120)/(30000 − 2000) = 98.57 mm

ȳ まわりの全体の板

150·200³/12 + 30000·1.429² = 100.1 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

40·50³/12 + 2000·21.43² = 1.335 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 98.73 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 98.73 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: u = 49.05 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5 = 49.05 kPa

答え

u = 49.05 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 59.57 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2

σ = 17·2 + 20·1 + 17.5·2 = 89 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 89 − 29.43 = 59.57 kPa

答え

σ′ = 59.57 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 13.47 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 90 + 45 = 135 kPa ≤ 140 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.02·6.5/(1 + 0.7)·log₁₀(135/90) = 13.47 mm

答え

S = 13.47 mm

16.圧密沈下

答え: t = 510.4 日

排水距離

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m

H_dr,field = 7/2 = 3.5 m

時間を換算する

t = T_v·H_dr²/c_v。T_v と c_v は室内と現場で同じです。

t_field = 6·(3.5/0.01)² = 735000 min

t_field = 735000/1440 = 510.4 日

答え

t = 510.4 日

17.静水圧

答え: F = 161.9 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·3 = 161.9 kN

答え

F = 161.9 kN

18.静水圧

答え: F = 25.9 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.5·2 = 25.9 kN

答え

F = 25.9 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 3.67 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 2²/(2·9.81) = 0.2039 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(50/0.05)·2²/(2·9.81) = 3.67 m

答え

h_f = 3.67 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 7.001 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

損失係数

f·L/D = 0.02·200/0.2 = 20

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

全損失水頭

h_f = 20·0.2905 = 5.81 m

h_m = 4.1·0.2905 = 1.191 m

Δz = h_f + h_m = 7.001 m

答え

Δz = 7.001 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 1.839 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 3·0.5 = 1.5 m²

P = b + 2y = 3 + 2·0.5 = 4 m

R = A/P = 0.375 m

速度

V = (1/0.03)·0.375^2/3·0.005^1/2 = 1.226 m/s

流量

Q = A·V = 1.5·1.226 = 1.839 m³/s

答え

Q = 1.839 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.003112 m/m

径深

R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m

マニングの式を S について解く

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1/0.233)² = 0.003112

答え

S = 0.003112

これは 1 km あたり 3.112 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 1.422 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·10 = 0.981 kW

軸動力

P_shaft = 0.981/0.75 = 1.308 kW

電力

P_el = 1.308/0.92 = 1.422 kW

答え

P_el = 1.422 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 13.09 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s

V²/(2g) = 0.119 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (43.2 + 8)·0.119 = 6.092 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + h_L = 7 + 6.092 = 13.09 m

答え

H = 13.09 m

25.貨幣の時間価値

答え: FV = 2542 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

指数

r·t = 0.02·12 = 0.24

e^0.24 = 1.271

将来価値

FV = 2 000·1.271 = €2 542.50

答え

FV = €2 542.50

26.貨幣の時間価値

答え: A = 448.2 €

月利と返済回数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·3 = 36

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.8661

A = 15 000·0.004/(1 − 0.8661) = €448.22

答え

A = €448.22

27.NPV と IRR

答え: NPV = 9880 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 11 000/1.07 = 10 280.37

CF₂/(1 + 0.07)² = 14 000/1.145 = 12 228.14

CF₃/(1 + 0.07)³ = 11 000/1.225 = 8 979.28

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 11 000/1.311 = 8 391.85

合計する

NPV = €9 879.64

答え

NPV = €9 879.64

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

28.NPV と IRR

答え: NPV = −12911 €

成長型年金の現在価値

((1.04)/(1.12))⁸ = 0.5527

PV = 12 000/(0.12 − 0.04)·(1 − 0.5527) = 67 088.69

NPV

NPV = 67 088.69 − 80 000 = −€12 911.31

答え

NPV = −€12 911.31

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

29.正規分布

答え: P = 0.6413

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (246 − 250)/5 = −0.8

z₂ = (255.25 − 250)/5 = 1.05

間の面積

P = Φ(1.05) − Φ(−0.8) = 0.8531 − 0.2119 = 0.6413

答え

P = 0.6413

30.正規分布

答え: P = 0.7389

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

標準化する

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

確率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答え

P = 0.7389

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