FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

はりは A でピン支点、A から 4 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 R_A を求めよ。

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 35 kN 位置 1.5 mP₂ = 70 kN 位置 6 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 6 mP = 10 kN 位置 4.5 mw = 12 kN/m（3 から 4 m まで）

R_A = kN

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 7 m鉛直荷重 = 45 kN

F_AB = kN

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

F: 10 kN ↓H: 25 kN ←

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 4.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mw = 6 kN/m（0 から 6 m まで）x = 4.5 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 A から曲げモーメントが最大となる断面までの距離 x₀ を求めよ。

L = 6 mw = 24 kN/m（1 から 5 m まで）

x₀ = m

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δ_max を求めよ。

w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δ_max を求めよ。

P = 6 kNw = 5 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

溶接 I 形断面は、上フランジ 170 × 18 mm、高さ 210 mm・厚さ 8 mm のウェブ、下フランジ 260 × 12 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

上フランジ: 170 × 18 mmウェブ: 8 × 210 mm下フランジ: 260 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 5 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³粘土: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 6.5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.2、C_r = 0.06、e₀ = 0.6 である。中央深さでの有効鉛直応力は 45 kPa であり、過圧密比は OCR = 3 である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 90 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 6.5 mC_c = 0.2C_r = 0.06e₀ = 0.6σ′₀ = 45 kPaOCR = 3Δσ = 90 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 5.5 m の粘土層の圧密係数は c_v = 5 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。平均圧密度 60% に対する時間係数は T_v = 0.287 である。この層が圧密度 60% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 5.5 mc_v = 5 m²/年度U = 60%T_v = 0.287両面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 50 m、内径 250 mm の水平管内を 1.4 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.4 m/sL = 50 mD = 250 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 300 m、内径 200 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 75 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 75 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 10

H = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形の仕上げのないコンクリートの水路の幅は 2 m である。水は水深 1.3 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.014、水路床勾配は S = 0.003 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 2 my = 1.3 mn = 0.014S = 0.003

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

幅 4.5 m の長方形のれんが積みの水路は、水深 1.9 m の等流で 32 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.015。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 32 m³/sb = 4.5 my = 1.9 mn = 0.015

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

試験で、ポンプが揚程 64 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 60 L/s 送り、そのとき軸動力は 52.3 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 60 L/sH = 64 mP_shaft = 52.3 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 100 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 400 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 3（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 72% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 100 L/sΔz = 5 mL = 400 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 3η = 72%

P_shaft = kW

25.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 6%、四半期複利で €1 000 を投資します。10 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €1 0006% / 4n = 10

FV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

€200 000 の住宅ローンを、年 3.6%、月複利で 20 年間の元利均等の月払いで返済します。10 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。

P = €200 0003.6% / 12N = 240k = 120

B = €

27.NPV と IRRふつう

€20 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€9 000, €8 000, €9 000, €6 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 8 000CF₃ = 9 000CF₄ = 6 000

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は €50 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €29 000, €22 000, €20 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 12% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 29 000CF₂ = 22 000CF₃ = 20 000

MIRR = %

29.正規分布ふつう

X は平均 12 min、標準偏差 1.5 min の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 20 min、標準偏差 2 min の正規分布に従います。X + Y が 35.8 min を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35.8 min

P =

30.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.02 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.02 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = −13.13 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1.5 + 70·6

R_B = 472.5/4 = 118.1 kN

鉛直方向のつり合い

R_A = 35 + 70 − 118.1 = −13.13 kN

答え

R_A = −13.13 kN

R_A は負です：A のピンははりを下に押さえつけなければなりません。

2.はりの支点反力

答え: R_A = 7.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN、作用点 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·4.5 + 12·1·3.5

R_B = 87/6 = 14.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 22 − 14.5 = 7.5 kN

答え

R_A = 7.5 kN

3.トラス：節点法

答え: F_AB = −20.48 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·7 → C_y = 39.38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 39.38 = 5.625 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/7.28 = 0.2747

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5.625/0.2747 = −20.48 kN

答え

F_AB = −20.48 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 11.25 kN (C), BC: 7.5 kN (C), CD: 7.5 kN (C), DE: 3.75 kN (C), FG: 13.75 kN (C), GH: 21.25 kN (C), AF: 19.45 kN (C), HE: 5.303 kN (T), BF: 3.75 kN (T), CG: 0, DH: 3.75 kN (C), BG: 5.303 kN (C), DG: 5.303 kN (T)

答え

ゼロ部材: CG

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 20.25 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

x = 4.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 18·4.5 − 6·4.5·2.25 = 20.25 kN·m

答え

M_x = 20.25 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: x₀ = 3 m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 24·4 = 96 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 24·4·3

R_B = 288/6 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

せん断力 0 の位置

せん断力は R_A から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 48/24 = 3 m

答え

x₀ = 3 m

7.はりのたわみ

答え: δ_max = 13.84 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 10 N/mm, L = 5000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·5.88 × 10¹²) = 13.84 mm

答え

δ_max = 13.84 mm

8.はりのたわみ

答え: δ_max = 39.37 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 6000 N, w = 5 N/mm, L = 8000 mm, EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·8000³/(48·8.4 × 10¹²) = 7.619 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 31.75 mm

足し合わせる

δ_max = 7.619 + 31.75 = 39.37 mm

答え

δ_max = 39.37 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 67.29 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·1500 = 3000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67.29 kN

答え

P_cr = 67.29 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 100.7 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/7.5 = 140

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa

答え

σ_cr = 100.7 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 3.847 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

ウェブ: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·110 + 1000·50)/5000 = 98 mm

平行軸の定理

フランジ: 200·20³/12 + 4000·(110 − 98)² = 709333 mm⁴

ウェブ: 10·100³/12 + 1000·(50 − 98)² = 3.137 × 10⁶ mm⁴

I_x = 709333 + 3.137 × 10⁶ = 3.847 × 10⁶ mm⁴ = 3.847 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 3.847 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 84.5 × 10⁶ mm⁴

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 3060 mm², y = 231 mm

ウェブ: A = 1680 mm², y = 117 mm

下フランジ: A = 3120 mm², y = 6 mm

図心

ȳ = (3060·231 + 1680·117 + 3120·6)/7860 = 117.3 mm

平行軸の定理

上フランジ: 170·18³/12 + 3060·113.7² = 3.963 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 8·210³/12 + 1680·0.3206² = 6.174 × 10⁶ mm⁴

下フランジ: 260·12³/12 + 3120·111.3² = 3.87 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.963 × 10⁷ + 6.174 × 10⁶ + 3.87 × 10⁷

I_x = 8.45 × 10⁷ mm⁴ = 84.5 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 84.5 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: u = 19.62 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

答え

u = 19.62 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ = 91.5 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2

σ = 17·2 + 20.5·1 + 18.5·2 = 91.5 kPa

答え

σ = 91.5 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 116.3 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·45 = 135 kPa

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 45 + 90 = 135 kPa ≤ 135 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.06·6.5/(1 + 0.6)·log₁₀(135/45) = 116.3 mm

答え

S = 116.3 mm

16.圧密沈下

答え: t = 0.4341 年

排水距離

H_dr = H/2 = 5.5/2 = 2.75 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.287·2.75²/5 = 0.4341 年

答え

t = 0.4341 年

17.静水圧

答え: F = 73.58 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·3 = 73.58 kN

答え

F = 73.58 kN

18.静水圧

答え: F = 233.1 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4.5·6 = 233.1 kN

答え

F = 233.1 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 5.88 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(50/0.25)·1.4²/(2·9.81) = 0.5994 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·0.5994 = 5880 Pa = 5.88 kPa

答え

Δp = 5.88 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: H = 10.05 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

損失係数

f·L/D = 0.015·300/0.2 = 22.5

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 = 11.1

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 22.5 + 11.1)·0.2905 = 10.05 m

答え

H = 10.05 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 6.954 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 2·1.3 = 2.6 m²

P = b + 2y = 2 + 2·1.3 = 4.6 m

R = A/P = 0.5652 m

速度

V = (1/0.014)·0.5652^2/3·0.003^1/2 = 2.675 m/s

流量

Q = A·V = 2.6·2.675 = 6.954 m³/s

答え

Q = 6.954 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.003029 m/m

断面の形状

A = b·y = 4.5·1.9 = 8.55 m²

P = b + 2y = 4.5 + 2·1.9 = 8.3 m

R = A/P = 1.03 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.015·32/(8.55·1.02) = 0.05504

S = 0.05504² = 0.003029

答え

S = 0.003029

これは 1 km あたり 3.029 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: η = 72.03 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·64 = 37.67 kW

効率

η = P_h/P_shaft = 37.67/52.3 = 72.03%

答え

η = 72.03%

24.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 14.59 kW

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 3)·0.2115 = 5.711 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 5 + 5.711 = 10.71 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.1·10.71/0.72 = 14.59 kW

答え

P_shaft = 14.59 kW

25.貨幣の時間価値

答え: FV = 1814 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.06/4 = 0.015

N = m·n = 4·10 = 40

将来価値

FV = 1 000·(1 + 0.015)⁴⁰ = 1 000·1.814 = €1 814.02

答え

FV = €1 814.02

26.貨幣の時間価値

答え: B = 117782 €

毎月の返済額

i = 0.003, N = 240

A = 200 000·0.003/(1 − (1 + 0.003)⁻²⁴⁰) = €1 170.22

残りの支払いの現在価値

まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。

N − k = 240 − 120 = 120

B = 1170·(1 − (1 + 0.003)⁻¹²⁰)/0.003 = €117 781.99

答え

B = €117 781.99

27.NPV と IRR

答え: NPV = 8538 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 9 000/1.05 = 8 571.43

CF₂/(1 + 0.05)² = 8 000/1.103 = 7 256.24

CF₃/(1 + 0.05)³ = 9 000/1.158 = 7 774.54

CF₄/(1 + 0.05)⁴ = 6 000/1.216 = 4 936.21

合計する

NPV = €8 538.42

答え

NPV = €8 538.42

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

28.NPV と IRR

答え: MIRR = 17.45 %

修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入の終価

29 000·1.12² = 36 377.60

22 000·1.12¹ = 24 640.00

20 000·1.12⁰ = 20 000.00

TV = 81 017.60

MIRR

MIRR = (81 017.60/50 000)^1/3 − 1 = 17.45%

答え

MIRR = 17.45%

29.正規分布

答え: P = 0.06426

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

標準化する

z = (35.8 − 32)/2.5 = 1.52

上側確率

P = 1 − Φ(1.52) = 1 − 0.9357 = 0.06426

答え

P = 0.06426

30.正規分布

答え: P = 0.7881

差の分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.025 mm

標準化する

z = (0 − 0.02)/0.025 = −0.8

確率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答え

P = 0.7881

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