FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

地盤の有効応力

全応力
σ = Σγi·hi
間隙水圧
u = γw·(z − zw)
有効応力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最終応力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
過圧密、σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
過圧密比
OCR = σ′p/σ′0
圧密時間
t = Tv·Hdr²/cv
排水距離
Hdr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
径深
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形
A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）
R = D/4
必要な水路勾配
S = (n·Q/(A·R2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値
FV = PV·(1 + i)n
現在価値
PV = FV/(1 + i)n
年に複数の期間
i = r/m, N = m·n
年金現価
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金終価
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

解き方

  1. すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
  2. 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
  3. 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
  4. 答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
均等なキャッシュフロー
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部収益率
NPV = 0 となる r
判断
NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

  1. すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
  2. 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
  3. それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
  4. IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 45 kNP2​ = 35 kNABRA​ = ?RB​1 m0.5 m3.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 5 mP1 = 45 kN 位置 1 mP2 = 35 kN 位置 1.5 m
RA = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 2 kN/mP = 50 kNABCRA​ = ?4 m1 m2 m3 m

はりは A でピン支点、A から 7 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 4 m の位置に集中荷重 P が作用し、5 m から 10 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 RA を求めよ。

AB = 7 mAC = 10 mP = 50 kN 位置 4 mw = 2 kN/m（5 から 10 m まで）
RA = kN
3.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB10 kN8 m2 m4 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 10 kN
FBC = kN
4.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB55 kN5 kN4 m3 m4 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 55 kN水平荷重 = 5 kN →
FBC = kN
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 10 kN/mAB断面9.5 m0.5 m

支点 A から x = 9.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 10 kN/m（0 から 10 m まで）x = 9.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
40 kN25 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

40 kN @ 0 m25 kN @ 12 m20 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.はりのたわみふつう
w = 2 kN/mδL = 2 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 15 kN/mδL = 5 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 15 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈ふつう
PL = 6 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
PL = 1 md = 25 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm
σcr = MPa
11.図心と断面二次モーメントふつう
200 mm300 mm180 mmØ40xIx​ = ?

200 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 180 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 200 mmh = 300 mmd = 40 mm穴の中心: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
200 mm300 mm105 mm40 × 40xIx​ = ?

200 mm × 300 mm の板に、幅 40 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 105 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 200 mmh = 300 mm切り欠き: 40 × 40 mm穴の中心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力ふつう
砂γd​ = 17 kN/m³γsat​ = 19 kN/m³14 m地下水位Xz = 11 m

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 11 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 17 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³
σ′ = kPa
14.地盤の有効応力むずかしい
砂γd​ = 16 kN/m³γsat​ = 18.5 kN/m³6 m粘土γsat​ = 17 kN/m³5 m地下水位Xz = 8.5 m

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 8.5 mzw = 4 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 18.5 kN/m³粘土: γsat = 17 kN/m³
σ′ = kPa
15.圧密沈下ふつう
Δσ = 10 kPa砂粘土Cc​ = 0.45, Cr​ = 0.02e0​ = 0.95σ′0​ = 45 kPaσ′p​ = 95 kPa8 m地下水位

厚さ 8 m の過圧密粘土層の Cc = 0.45、Cr = 0.02、e₀ = 0.95 である。中央深さでの有効鉛直応力は 45 kPa であり、 圧密降伏応力は 95 kPa である。 新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 10 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 8 mCc = 0.45Cr = 0.02e0 = 0.95σ′0 = 45 kPaσ′p = 95 kPaΔσ = 10 kPa
S = mm
16.圧密沈下むずかしい
砂粘土H = 2 mcv​ = 5 m²/年度2 m砂地下水位

厚さ 2 m の粘土層の圧密係数は cv = 5 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。 平均圧密度 90% に対する時間係数は Tv = 0.848 である。この層が圧密度 90% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 2 mcv = 5 m²/年度U = 90%Tv = 0.848両面排水
t = 年
17.静水圧ふつう
ゲートd = 2 mH = 3 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水圧むずかしい
ゲートd = 0.5 mH = 3 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 0.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 1.8 m/sD = 150 mmL = 800 mf = 0.025

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 800 m、内径 150 mm の水平管内を 1.8 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.8 m/sL = 800 mD = 150 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 10Δz = ?L = 200 m, D = 300 mm, f = 0.0222× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 120 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 120 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
21.開水路の流れ（マニング）ふつう
b = 1 my = 0.6 m3 : 1n = 0.025, S = 0.0008

台形の砂利の水路の底幅は 1 m、側面勾配は 3:1（水平:鉛直）である。水は水深 0.6 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.025、水路床勾配は S = 0.0008 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 1 my = 0.6 mz = 3n = 0.025S = 0.0008
Q = m³/s
22.開水路の流れ（マニング）むずかしい
b = 3 my = 2.1 mn = 0.03, Q = 8.6 m³/s

幅 3 m の長方形の芝で覆われた土の水路は、 水深 2.1 m の等流で 8.6 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.03。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 8.6 m³/sb = 3 my = 2.1 mn = 0.03
S = m/m
23.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 100 L/sH = 80 m

ポンプが揚程 80 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 100 L/s 送っている。ポンプ効率は 65%、これを駆動する電動機の効率は 92% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。

Q = 100 L/sH = 80 mηpump = 65%ηmotor = 92%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
24.ポンプとポンプ動力むずかしい
200 kPa (ゲージ圧)PQ = 25 L/sΔz = 10 mL = 200 m, D = 150 mm, f = 0.015, ΣK = 8

ポンプが 25 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 10 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 200 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 25 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 8ptank = 200 kPa
H = m
25.貨幣の時間価値ふつう
年01234PV = ?€20 000

4 年後に €20 000 が必要です。口座の利率は年 3.6%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €20 0003.6% / 12n = 4
PV = €
26.貨幣の時間価値むずかしい
か月0123…N = ?€10 000€250€250€250€2504.2% / 12

年 4.2%、月複利で €10 000 を借り、毎月末に €250 を返済します。ローンを完済するまでに何か月かかりますか（最後の返済額は少なくてもよい）？返済回数 N を答えなさい。

P = €10 000A = €2504.2% / 12
N = 回
27.NPV と IRRふつう
年0123…10€60 000€4 000€4 000€4 000€4 000r = 8%, EAC = ?

ある機械の費用は今日 €60 000、耐用年数は 10 年、運転費は毎年 €4 000（各年末に支払い）です。資本コストは 8% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C0 = €60 000M = €4 000n = 10r = 8%
EAC = €
28.NPV と IRRむずかしい
年012−25 00011 50018 000

あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €11 500, €18 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF0 = −25 000CF1 = 11 500CF2 = 18 000
IRR = %
29.正規分布ふつう
−3−2−10123zz の右側の色つき面積 = 0.2611

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.2611 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.2611
z =
30.正規分布むずかしい
10 g0X − Y?

ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RA = 60.5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 45 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​1 m0.5 m3.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·5 = 45·1 + 35·1.5
RB = 97.5/5 = 19.5 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 19.5 = 60.5 kN

答え

RA = 60.5 kN
2.はりの支点反力

答え: RA = 20.71 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

分布荷重の合力

W = 2·5 = 10 kN, x̄ = (5 + 10)/2 = 7.5 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·7 = 50·4 + 10·7.5
RB = 275/7 = 39.29 kN
RA = 60 − 39.29 = 20.71 kN

答え

RA = 20.71 kN
3.トラス：節点法

答え: FBC = −4.507 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·2 → Cy = 2.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 2.5 = 7.5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/7.211 = 0.5547, cos γ = 6/7.211 = 0.8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −2.5/0.5547 = −4.507 kN

答え

FBC = −4.507 kN (圧縮)
4.トラス：節点法

答え: FBC = −47.67 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB55 kN5 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 55·3 + 5·4 → Cy = 46.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 46.25 = 8.75 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −46.25/0.9701 = −47.67 kN

答え

FBC = −47.67 kN (圧縮)
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 23.75 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·10·5
RB = 500/10 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 50 = 50 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 50RB​ = 50断面9.5 m0.5 m

x = 9.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 50·9.5 − 10·9.5·4.75 = 23.75 kN·m

答え

Mx = 23.75 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: B (x = 2 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 58.75 kN, R2 = 26.25 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −80 kN·m, MC = −42.5, MD = −45, ME = −47.5, MF = −50, MG = 0

答え

点 B: MB = −80 kN·m
7.はりのたわみ

答え: δ = 4.329 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 2000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2000⁴/(8·9.24 × 10¹¹) = 4.329 mm

答え

δ = 4.329 mm
8.はりのたわみ

答え: Ireq = 125.6 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·5000⁴/(384·70000·13.89) = 1.256 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 125.6 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 125.6 × 10⁶ mm⁴
9.柱の座屈

答え: Pcr = 8.721 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8.721 kN

答え

Pcr = 8.721 kN
10.柱の座屈

答え: σcr = 6.747 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/6.25 = 320

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6.747 MPa

答え

σcr = 6.747 MPa
11.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 448.7 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (60000·150 − 1257·180)/(60000 − 1257) = 149.4 mm

ȳ まわりの全体の板

200·300³/12 + 60000·0.6418² = 450 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·40⁴/64 + 1257·30.64² = 1.306 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 448.7 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 448.7 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 446.5 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (60000·150 − 1600·105)/(60000 − 1600) = 151.2 mm

ȳ まわりの全体の板

200·300³/12 + 60000·−1.233² = 450.1 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

40·40³/12 + 1600·−46.23² = 3.633 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 446.5 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 446.5 × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 108.9 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 17·1 + 19·10 = 207 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γw·(z − zw) = 9.81·10 = 98.1 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 207 − 98.1 = 108.9 kPa

答え

σ′ = 108.9 kPa
14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 99.35 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γd·4 + γsat,sand·2 + γsat,clay·2.5
σ = 16·4 + 18.5·2 + 17·2.5 = 143.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γw·(z − zw) = 9.81·4.5 = 44.15 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 143.5 − 44.15 = 99.35 kPa

答え

σ′ = 99.35 kPa
15.圧密沈下

答え: S = 7.151 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′f = 45 + 10 = 55 kPa ≤ 95 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0.02·8/(1 + 0.95)·log₁₀(55/45) = 7.151 mm

答え

S = 7.151 mm
16.圧密沈下

答え: t = 0.1696 年

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

排水距離

Hdr = H/2 = 2/2 = 1 m

時間

t = Tv·Hdr²/cv = 0.848·1²/5 = 0.1696 年

答え

t = 0.1696 年
17.静水圧

答え: F = 309 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
ゲートd = 2 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·9 = 309 kN

答え

F = 309 kN
18.静水圧

答え: ycp = 2.375 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
ゲートd = 0.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2·3 = 74.16 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 2.25/(2·3) = 2.375 m

答え

ycp = 2.375 m
19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 216 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(800/0.15)·1.8²/(2·9.81) = 22.02 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·22.02 = 216000 Pa = 216 kPa

答え

Δp = 216 kPa
20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 3.932 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.12/0.07069 = 1.698 m/s
V²/(2g) = 0.1469 m

損失係数

f·L/D = 0.022·200/0.3 = 14.67
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1

全損失水頭

hf = 14.67·0.1469 = 2.154 m
hm = 12.1·0.1469 = 1.777 m
Δz = hf + hm = 3.932 m

答え

Δz = 3.932 m
21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 0.9447 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (1 + 3·0.6)·0.6 = 1.68 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·0.6·√(1 + 3²) = 4.795 m
R = A/P = 0.3504 m

速度

V = (1/0.025)·0.35042/3·0.00081/2 = 0.5623 m/s

流量

Q = A·V = 1.68·0.5623 = 0.9447 m³/s

答え

Q = 0.9447 m³/s
22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.002004 m/m

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 3·2.1 = 6.3 m²
P = b + 2y = 3 + 2·2.1 = 7.2 m
R = A/P = 0.875 m

マニングの式を S について解く

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.03·8.6/(6.3·0.9148) = 0.04477
S = 0.04477² = 0.002004

答え

S = 0.002004

これは 1 km あたり 2.004 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: Pel = 131.2 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·80 = 78.48 kW

軸動力

Pshaft = 78.48/0.65 = 120.7 kW

電力

Pel = 120.7/0.92 = 131.2 kW

答え

Pel = 131.2 kW
24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 33.24 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s
V²/(2g) = 0.102 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0.102 = 2.856 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 10 + 20.39 + 2.856 = 33.24 m

答え

H = 33.24 m
25.貨幣の時間価値

答え: PV = 17321 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·4 = 48

現在価値

PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1.155 = €17 321.49

答え

PV = €17 321.49
26.貨幣の時間価値

答え: N = 44 回

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金の公式を変形する

i = 0.0035
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0.0035/250 = 0.86

対数を使って解く

N = −ln(0.86)/ln(1.004) = 43.17

返済回数を整数に切り上げる

43 回の満額返済の後にわずかな残高が残り、最後の少額の返済でそれを完済します。

N = 44

答え

N = 44 回
27.NPV と IRR

答え: EAC = 12942 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.08−10)/0.08 = 6.71

年換算した購入価格

60 000/6.71 = 8 941.77

EAC

EAC = 8 941.77 + 4 000 = €12 941.77

答え

EAC = €12 941.77
28.NPV と IRR

答え: IRR = 10.91 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(10%) = 330.58
NPV(15%) = −1 389.41

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 10 + 5·330.58/(330.58 − (−1 389.41)) = 10.96%
正確な値: NPV(10.91%) = 0 → IRR = 10.91%

答え

IRR = 10.91%
29.正規分布

答え: z = 0.64

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.2611 = 0.7389

z 表を逆に読む

表の中で 0.7389 を見つけ、z を読み取ります。

z = 0.64

答え

z = 0.64
30.正規分布

答え: P = 0.8413

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

標準化する

z = (0 − 10)/10 = −1

確率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答え

P = 0.8413

これは独自の練習教材です。ExamProblems はこの試験を実施する団体とは提携しておらず、その承認も受けていません。試験名は内容を説明するためにのみ使用しています。 FE examはNCEESが実施する試験です。同団体はExamProblemsと提携しておらず、推奨もしていません。

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil