FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 4 mP₁ = 30 kN 位置 2.5 mP₂ = 10 kN 位置 3 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 5 mP = 50 kN 位置 1 mw = 3 kN/m（1 から 2 m まで）

R_A = kN

3.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 25 kN ↓H: 30 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 20 kN水平荷重 = 5 kN →

F_BC = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。固定端 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 2 mP = 40 kN 位置 1.5 mw = 12 kN/m（0 から 2 m まで）x = 1 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

55 kN @ 12 m45 kN @ 4 m4 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δ_max を求めよ。

w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.はりのたわみむずかしい

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。支点 B の反力 R_B を求めよ。

L = 3 mw = 8 kN/m

R_B = kN

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 3 で 80 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 80 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

150 mm × 150 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 50 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 105 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mm穴の中心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

対称な I 形断面のフランジは幅 160 mm、厚さ 20 mm、全高は 340 mm、ウェブの厚さは 8 mm である。軸 x まわりに曲げモーメント 100 kN·m を受ける。ウェブと上フランジの接合部における曲げ応力の大きさ σ_j を求めよ。

B = 160 mmH = 340 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmM = 100 kN·m

σ_j = MPa

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 13 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 6.5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³粘土: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 3 m の過圧密粘土層の C_c = 0.35、C_r = 0.05、e₀ = 1 である。中央深さでの有効鉛直応力は 85 kPa であり、圧密降伏応力は 205 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 95 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 3 mC_c = 0.35C_r = 0.05e₀ = 1σ′₀ = 85 kPaσ′_p = 205 kPaΔσ = 95 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 8.5 m の粘土層の圧密係数は c_v = 4 m²/年である。不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。平均圧密度 90% に対する時間係数は T_v = 0.848 である。この層が圧密度 90% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 8.5 mc_v = 4 m²/年度U = 90%T_v = 0.848片面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 800 m、内径 50 mm の水平管内を 2.4 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 2.4 m/sL = 800 mD = 50 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 150 m、内径 150 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 40 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 40 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5

H = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

台形の仕上げたコンクリートの水路の底幅は 2.5 m、側面勾配は 3:1（水平:鉛直）である。水は水深 0.8 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.012、水路床勾配は S = 0.003 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 2.5 my = 0.8 mz = 3n = 0.012S = 0.003

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 4 m、側面勾配 2:1（水平:鉛直）の台形の砂利の水路は、水深 1.3 m の等流で 7 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.025。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 7 m³/sb = 4 my = 1.3 mz = 2n = 0.025

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 70% のポンプが揚程 54 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 30 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 30 L/sH = 54 mη = 70%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 22 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 200 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 80 L/sΔz = 22 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 5p_tank = 200 kPa

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

10 年後に €15 000 が必要です。口座の利率は年 5%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €15 0005% / 12n = 10

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

€20 000 のローンを、年 4.2%、月複利で 6 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？

P = €20 0004.2% / 12N = 72

I = €

27.NPV と IRRふつう

€60 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€24 000, €20 000, €30 000, €26 000。資本コストは 5% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 24 000CF₂ = 20 000CF₃ = 30 000CF₄ = 26 000

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €14 500, €13 000, €15 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −25 000CF₁ = 14 500CF₂ = 13 000CF₃ = 15 500

IRR = %

29.正規分布ふつう

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。167.85 から 179.4 cm の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 178σ = 7x₁ = 167.85x₂ = 179.4

P =

30.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.03 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = 13.75 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2.5 + 10·3

R_B = 105/4 = 26.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 26.25 = 13.75 kN

答え

R_A = 13.75 kN

2.はりの支点反力

答え: R_A = 42.1 kN

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN、作用点 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1 + 3·1·1.5

R_B = 54.5/5 = 10.9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 53 − 10.9 = 42.1 kN

答え

R_A = 42.1 kN

3.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 26.25 kN (T), BC: 27.5 kN (T), CD: 27.5 kN (T), DE: 28.75 kN (T), FG: 26.25 kN (C), GH: 28.75 kN (C), AF: 37.12 kN (C), HE: 40.66 kN (C), BF: 26.25 kN (T), CG: 0, DH: 1.25 kN (C), BG: 1.768 kN (C), DG: 1.768 kN (T)

答え

ゼロ部材: CG

4.トラス：節点法

答え: F_BC = −16.01 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·3 + 5·4 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 10 = 10 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/6.403 = 0.6247, cos γ = 5/6.403 = 0.7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0.6247 = −16.01 kN

答え

F_BC = −16.01 kN (圧縮)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = −26 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

自由端側を残す

P: −40·0.5 = −20 kN·m

w: −12·1²/2 = −6 kN·m

M_x = −20 − 6 = −26 kN·m

答え

M_x = −26 kN·m

負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。

6.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 11 kN, R₂ = 121 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 14, M_C = 12, M_D = −96, M_E = −220 kN·m, M_F = −110, M_G = 0

答え

点 E: M_E = −220 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ_max = 3.72 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·8.4 × 10¹¹) = 3.72 mm

答え

δ_max = 3.72 mm

8.はりのたわみ

答え: R_B = 9 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 R_B だけで自由端は R_BL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·3/8 = 9 kN

答え

R_B = 9 kN

9.柱の座屈

答え: P_cr = 29.61 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·1500 = 3000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/3000² = 29609 N = 29.61 kN

答え

P_cr = 29.61 kN

10.柱の座屈

答え: d = 88.71 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 3·80000 = 240000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 88.71 mm

答え

d = 88.71 mm

確認：細長比 KL/r は 225.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 39.94 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (22500·75 − 1963·105)/(22500 − 1963) = 72.13 mm

ȳ まわりの全体の板

150·150³/12 + 22500·2.868² = 42.37 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·50⁴/64 + 1963·32.87² = 2.428 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 39.94 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 39.94 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_j = 82.39 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − t_w)、高さ h_w = H − 2t_f で、軸 x を共有します。

h_w = 340 − 2·20 = 300 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·340³ − 152·300³)/12

I_x = 1.821 × 10⁸ mm⁴

曲げ応力

y = 170 − 20 = 150 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·150/1.821 × 10⁸ = 82.39 MPa

答え

σ_j = 82.39 MPa

13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 146.7 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·4 + 19·9 = 235 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·9 = 88.29 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 235 − 88.29 = 146.7 kPa

答え

σ′ = 146.7 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 71.1 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3.5

σ = 16·2 + 18.5·1 + 18.5·3.5 = 115.3 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4.5 = 44.15 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 115.3 − 44.15 = 71.1 kPa

答え

σ′ = 71.1 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 24.44 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 85 + 95 = 180 kPa ≤ 205 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.05·3/(1 + 1)·log₁₀(180/85) = 24.44 mm

答え

S = 24.44 mm

16.圧密沈下

答え: t = 15.32 年

排水距離

H_dr = H = 8.5 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·8.5²/4 = 15.32 年

答え

t = 15.32 年

17.静水圧

答え: F = 51.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·1.5 = 51.5 kN

答え

F = 51.5 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 2.633 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.5·3 = 64.75 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 1/(2.5·3) = 2.633 m

答え

y_cp = 2.633 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 829.4 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(800/0.05)·2.4²/(2·9.81) = 84.55 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·84.55 = 829440 Pa = 829.4 kPa

答え

Δp = 829.4 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: H = 6.555 m

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

損失係数

f·L/D = 0.018·150/0.15 = 18

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 = 6.1

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 18 + 6.1)·0.2611 = 6.555 m

答え

H = 6.555 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 11.55 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 3·0.8)·0.8 = 3.92 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·0.8·√(1 + 3²) = 7.56 m

R = A/P = 0.5185 m

速度

V = (1/0.012)·0.5185^2/3·0.003^1/2 = 2.946 m/s

流量

Q = A·V = 3.92·2.946 = 11.55 m³/s

答え

Q = 11.55 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0004976 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (4 + 2·1.3)·1.3 = 8.58 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1.3·√(1 + 2²) = 9.814 m

R = A/P = 0.8743 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·7/(8.58·0.9143) = 0.02231

S = 0.02231² = 0.0004976

答え

S = 0.0004976

これは 1 km あたり 0.4976 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 22.7 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·54 = 15.89 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 15.89/0.7 = 22.7 kW

答え

P_shaft = 22.7 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 47.76 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11.25 + 5)·0.3305 = 5.371 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 22 + 20.39 + 5.371 = 47.76 m

答え

H = 47.76 m

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 9107 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.05/12 = 0.004167

N = 12·10 = 120

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.647 = €9 107.42

答え

PV = €9 107.42

26.貨幣の時間価値

答え: I = 2661 €

毎月の返済額

i = 0.0035, N = 72

A = 20 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)⁻⁷²) = €314.73

利息の総額

I = N·A − P = 72·314.7 − 20 000 = €2 660.52

答え

I = €2 660.52

27.NPV と IRR

答え: NPV = 28303 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 24 000/1.05 = 22 857.14

CF₂/(1 + 0.05)² = 20 000/1.103 = 18 140.59

CF₃/(1 + 0.05)³ = 30 000/1.158 = 25 915.13

CF₄/(1 + 0.05)⁴ = 26 000/1.216 = 21 390.26

合計する

NPV = €28 303.12

答え

NPV = €28 303.12

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 32.53 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(30%) = 901.23

NPV(35%) = −826.35

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 30 + 5·901.23/(901.23 − (−826.35)) = 32.61%

正確な値: NPV(32.53%) = 0 → IRR = 32.53%

答え

IRR = 32.53%

29.正規分布

答え: P = 0.5057

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (167.85 − 178)/7 = −1.45

z₂ = (179.4 − 178)/7 = 0.2

間の面積

P = Φ(0.2) − Φ(−1.45) = 0.5793 − 0.07353 = 0.5057

答え

P = 0.5057

30.正規分布

答え: P = 0.9515

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01803 mm

標準化する

z = (0 − 0.03)/0.01803 = −1.66

確率

P = 1 − Φ(−1.66) = 0.9515

答え

P = 0.9515

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