FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

地盤の有効応力

全応力
σ = Σγi·hi
間隙水圧
u = γw·(z − zw)
有効応力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最終応力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
過圧密、σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
過圧密比
OCR = σ′p/σ′0
圧密時間
t = Tv·Hdr²/cv
排水距離
Hdr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
径深
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形
A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）
R = D/4
必要な水路勾配
S = (n·Q/(A·R2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値
FV = PV·(1 + i)n
現在価値
PV = FV/(1 + i)n
年に複数の期間
i = r/m, N = m·n
年金現価
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金終価
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

解き方

  1. すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
  2. 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
  3. 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
  4. 答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
均等なキャッシュフロー
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部収益率
NPV = 0 となる r
判断
NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

  1. すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
  2. 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
  3. それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
  4. IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 10 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​ = ?1 m0.5 m2.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 4 mP1 = 10 kN 位置 1 mP2 = 60 kN 位置 1.5 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 6 kN/mP = 35 kNABRA​RB​ = ?1.5 m2.5 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 6 mP = 35 kN 位置 1.5 mw = 6 kN/m（4 から 6 m まで）
RB = kN
3.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB15 kN8 m1 m3 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 15 kN
FBC = kN
4.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB60 kN10 kN5 m2 m4 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 60 kN水平荷重 = 10 kN →
FBC = kN
5.せん断力と曲げモーメントふつう
30 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

30 kN @ 4 m35 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 8 kN/mAB4 m2 m2 m

単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 8 mw = 8 kN/m（4 から 6 m まで）
Mmax = kN·m
7.はりのたわみふつう
P = 26 kNABδ3 m2 m

単純ばりの支点 A から a = 3 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 26 kNa = 3 mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
P = 16 kNABδ3 m1 m

単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 スパン中央のたわみ δmid を求めよ。

P = 16 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 1 m25 × 60 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 90 kNL = 2.5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 90 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 90 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.図心と断面二次モーメントふつう
120 mm300 mm105 mmØ30xIx​ = ?

120 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 30 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 105 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 300 mmd = 30 mm穴の中心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
150 mm150 mm105 mm50 × 30xIx​ = ?

150 mm × 150 mm の板に、幅 50 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 105 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 150 mmh = 150 mm切り欠き: 50 × 30 mm穴の中心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力ふつう
砂γd​ = 15 kN/m³γsat​ = 20 kN/m³11 m地下水位Xz = 10 m

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 10 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³
σ′ = kPa
14.地盤の有効応力むずかしい
砂γd​ = 16 kN/m³γsat​ = 18.5 kN/m³6 m粘土γsat​ = 17.5 kN/m³4 m地下水位Xz = 8 m

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 8 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 18.5 kN/m³粘土: γsat = 17.5 kN/m³
σ′ = kPa
15.圧密沈下ふつう
Δσ = 100 kPa砂粘土Cc​ = 0.4, Cr​ = 0.03e0​ = 1.15σ′0​ = 85 kPaσ′p​ = 165 kPa3 m地下水位

厚さ 3 m の過圧密粘土層の Cc = 0.4、Cr = 0.03、e₀ = 1.15 である。中央深さでの有効鉛直応力は 85 kPa であり、 圧密降伏応力は 165 kPa である。 新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 100 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 3 mCc = 0.4Cr = 0.03e0 = 1.15σ′0 = 85 kPaσ′p = 165 kPaΔσ = 100 kPa
S = mm
16.圧密沈下むずかしい
砂粘土H = 5.5 m5.5 m不透水性の岩盤地下水位

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 20 mm の粘土供試体が 8 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 5.5 m の層をなしている。 不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。 現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

hlab = 20 mmtlab = 8 minH = 5.5 m現場：片面排水
t = 日
17.静水圧ふつう
ゲートd = 1.5 mH = 1.5 m

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水圧むずかしい
ゲートd = 0.5 mH = 1 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 0.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.管摩擦と損失水頭ふつう
Q = 12 L/sD = 100 mmL = 50 mf = 0.02

水が、長さ 50 m、内径 100 mm の管内を 12 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

Q = 12 L/sL = 50 mD = 100 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 2自由放出口H = ?L = 150 m, D = 200 mm, f = 0.0222× 曲がり (K = 0.3)

長さ 150 m、内径 200 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 60 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 60 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2
H = m
21.開水路の流れ（マニング）ふつう
b = 1 my = 2.3 m1.5 : 1n = 0.014, S = 0.0008

台形の仕上げのないコンクリートの水路の底幅は 1 m、側面勾配は 1.5:1（水平:鉛直）である。水は水深 2.3 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.014、水路床勾配は S = 0.0008 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 1 my = 2.3 mz = 1.5n = 0.014S = 0.0008
Q = m³/s
22.開水路の流れ（マニング）むずかしい
b = 3.5 my = 0.7 mn = 0.025, Q = 2 m³/s

幅 3.5 m の長方形の砂利の水路は、 水深 0.7 m の等流で 2 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.025。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 2 m³/sb = 3.5 my = 0.7 mn = 0.025
S = m/m
23.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 60 L/sH = 78 m

試験で、ポンプが揚程 78 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 60 L/s 送り、そのとき軸動力は 65.6 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 60 L/sH = 78 mPshaft = 65.6 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.ポンプとポンプ動力むずかしい
PQ = 20 L/sΔz = 6 mL = 300 m, D = 150 mm, f = 0.02, ΣK = 8

ポンプが 20 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 6 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 300 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 20 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 8
H = m
25.貨幣の時間価値ふつう
年01234€20 000FV = ?

名目年利 5%、月複利で €20 000 を投資します。4 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €20 0005% / 12n = 4
FV = €
26.貨幣の時間価値むずかしい
年0123456€3 000€3 000€3 000FV = ?

6 年間、毎年初めに €3 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 7% です。6 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。

A = €3 000i = 7%n = 6
FV = €
27.NPV と IRRふつう
年01234−75 00025 00033 00032 00022 000

€75 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€25 000, €33 000, €32 000, €22 000。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 10%CF0 = −75 000CF1 = 25 000CF2 = 33 000CF3 = 32 000CF4 = 22 000
NPV = €
28.NPV と IRRむずかしい
年012−40 00022 50026 000

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €22 500, €26 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF0 = −40 000CF1 = 22 500CF2 = 26 000
IRR = %
29.正規分布ふつう
250 kg251.6 kgT = X₁ + … + X₁₀?

セメント袋 の質量は互いに独立で、平均 25 kg、標準偏差 0.5 kg の正規分布に従います。そのうち 10 個の合計質量が 251.6 kg を下回る確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 10< 251.6 kg
P =
30.正規分布むずかしい
35455565758595点下端 40%

試験の得点 は、平均 65 点、標準偏差 10 点 の正規分布に従います。色つきの下位 40% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 65 点σ = 10 点40%
x = 点

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 25 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 10 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​1 m0.5 m2.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·4 = 10·1 + 60·1.5
RB = 100/4 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 25 = 45 kN

答え

RB = 25 kN
2.はりの支点反力

答え: RB = 18.75 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 6 kN/mP = 35 kNABRA​RB​1.5 m2.5 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 35·1.5 + 6·2·5
RB = 112.5/6 = 18.75 kN
ΣFy = 0: RA = 47 − 18.75 = 28.25 kN

答え

RB = 18.75 kN
3.トラス：節点法

答え: FBC = −4.76 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·1 → Cy = 1.875 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 1.875 = 13.13 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/7.616 = 0.3939, cos γ = 7/7.616 = 0.9191
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −1.875/0.3939 = −4.76 kN

答え

FBC = −4.76 kN (圧縮)
4.トラス：節点法

答え: FBC = −40 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB60 kN10 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·2 + 10·4 → Cy = 32 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 32 = 28 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −32/0.8 = −40 kN

答え

FBC = −40 kN (圧縮)
5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 3 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 27.5 kN, R2 = 37.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 27.5, MC = 55, MD = 82.5 kN·m, ME = 75, MF = 37.5, MG = 0

答え

点 D: MD = 82.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 26.25 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·2·5
RB = 80/8 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 10 = 6 kN

せん断力 0 の位置

せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。

RA − w·(x0 − 4) = 0
x0 = 4 + 6/8 = 4.75 m

最大モーメント

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 4)²/2 = 6·4.75 − 8·0.75²/2 = 26.25 kN·m

答え

Mmax = 26.25 kN·m
7.はりのたわみ

答え: δP = 3.714 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 26000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 26000·3000²·2000²/(3·1.68 × 10¹³·5000) = 3.714 mm

答え

δP = 3.714 mm
8.はりのたわみ

答え: δmid = 3.676 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 16000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

中央たわみ

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 16000·1000·(3·4000² − 4·1000²)/(48·3.99 × 10¹²) = 3.676 mm

答え

δmid = 3.676 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 38.55 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·1000 = 2000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/2000² = 38553 N = 38.55 kN

答え

Pcr = 38.55 kN
10.柱の座屈

答え: d = 54.05 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·90000 = 270000 N
KL = 0.7·2500 = 1750 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 54.05 mm

答え

d = 54.05 mm

確認：細長比 KL/r は 129.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 268.5 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (36000·150 − 706.9·105)/(36000 − 706.9) = 150.9 mm

ȳ まわりの全体の板

120·300³/12 + 36000·−0.9013² = 270 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·30⁴/64 + 706.9·−45.9² = 1.529 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 268.5 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 268.5 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 40.63 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (22500·75 − 1500·105)/(22500 − 1500) = 72.86 mm

ȳ まわりの全体の板

150·150³/12 + 22500·2.143² = 42.29 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

50·30³/12 + 1500·32.14² = 1.662 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 40.63 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 40.63 × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 111.5 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15·2 + 20·8 = 190 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γw·(z − zw) = 9.81·8 = 78.48 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 190 − 78.48 = 111.5 kPa

答え

σ′ = 111.5 kPa
14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 82.14 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γd·2 + γsat,sand·4 + γsat,clay·2
σ = 16·2 + 18.5·4 + 17.5·2 = 141 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γw·(z − zw) = 9.81·6 = 58.86 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 141 − 58.86 = 82.14 kPa

答え

σ′ = 82.14 kPa
15.圧密沈下

答え: S = 39.79 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′f = 85 + 100 = 185 kPa > 165 kPa

沈下量

σ′p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.03·3/(1 + 1.15)·log₁₀(165/85) + 0.4·3/(1 + 1.15)·log₁₀(185/165)
S = 12.06 + 27.73 = 39.79 mm

答え

S = 39.79 mm
16.圧密沈下

答え: t = 1681 日

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

排水距離

Hdr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m
Hdr,field = 5.5 m

時間を換算する

t = Tv·Hdr²/cv。T_v と cv は室内と現場で同じです。

tfield = 8·(5.5/0.01)² = 2.42 × 10⁶ min
tfield = 2.42 × 10⁶/1440 = 1681 日

答え

t = 1681 日
17.静水圧

答え: F = 66.22 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
ゲートd = 1.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.25·3 = 66.22 kN

答え

F = 66.22 kN
18.静水圧

答え: ycp = 1.083 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
ゲートd = 0.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1·3 = 29.43 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1 + 0.25/(1·3) = 1.083 m

答え

ycp = 1.083 m
19.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 1.19 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²
V = Q/A = 0.012/0.007854 = 1.528 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 1.528²/(2·9.81) = 0.119 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(50/0.1)·1.528²/(2·9.81) = 1.19 m

答え

hf = 1.19 m
20.管摩擦と損失水頭

答え: H = 3.83 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m

損失係数

f·L/D = 0.022·150/0.2 = 16.5
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 = 3.1

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 16.5 + 3.1)·0.1859 = 3.83 m

答え

H = 3.83 m
21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 22.05 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (1 + 1.5·2.3)·2.3 = 10.23 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·2.3·√(1 + 1.5²) = 9.293 m
R = A/P = 1.101 m

速度

V = (1/0.014)·1.1012/3·0.00081/2 = 2.155 m/s

流量

Q = A·V = 10.23·2.155 = 22.05 m³/s

答え

Q = 22.05 m³/s
22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.001049 m/m

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 3.5·0.7 = 2.45 m²
P = b + 2y = 3.5 + 2·0.7 = 4.9 m
R = A/P = 0.5 m

マニングの式を S について解く

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.025·2/(2.45·0.63) = 0.0324
S = 0.0324² = 0.001049

答え

S = 0.001049

これは 1 km あたり 1.049 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: η = 69.99 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·78 = 45.91 kW

効率

η = Ph/Pshaft = 45.91/65.6 = 69.99%

答え

η = 69.99%
24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 9.134 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.02/0.01767 = 1.132 m/s
V²/(2g) = 0.06529 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 8)·0.06529 = 3.134 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + hL = 6 + 3.134 = 9.134 m

答え

H = 9.134 m
25.貨幣の時間価値

答え: FV = 24418 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.05/12 = 0.004167
N = m·n = 12·4 = 48

将来価値

FV = 20 000·(1 + 0.004167)48 = 20 000·1.221 = €24 417.91

答え

FV = €24 417.91
26.貨幣の時間価値

答え: FV = 22962 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

通常の年金係数

((1 + 0.07)6 − 1)/0.07 = 7.153

期首払い年金

各預け入れは 1 年長く運用されます。

FV = 3 000·7.153·1.07 = €22 962.06

答え

FV = €22 962.06
27.NPV と IRR

答え: NPV = 14068 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 25 000/1.1 = 22 727.27
CF2/(1 + 0.1)2 = 33 000/1.21 = 27 272.73
CF3/(1 + 0.1)3 = 32 000/1.331 = 24 042.07
CF4/(1 + 0.1)4 = 22 000/1.464 = 15 026.30

合計する

NPV = €14 068.37

答え

NPV = €14 068.37

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 13.51 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(10%) = 1 942.15
NPV(15%) = −775.05

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 10 + 5·1 942.15/(1 942.15 − (−775.05)) = 13.57%
正確な値: NPV(13.51%) = 0 → IRR = 13.51%

答え

IRR = 13.51%
29.正規分布

答え: P = 0.8438

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

合計の分布

μT = 250 kg, σT = 0.5·√10 = 1.581 kg

標準化する

z = (251.6 − 250)/1.581 = 1.01

確率

P = Φ(1.01) = 0.8438

答え

P = 0.8438
30.正規分布

答え: x = 62.5 点

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.4

表からの z

z ≈ −0.25

元の単位に戻す

x = 65 − 0.25·10 = 62.5 点

答え

x = 62.5 点

これは独自の練習教材です。ExamProblems はこの試験を実施する団体とは提携しておらず、その承認も受けていません。試験名は内容を説明するためにのみ使用しています。 FE examはNCEESが実施する試験です。同団体はExamProblemsと提携しておらず、推奨もしていません。

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