FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 5 mP₁ = 40 kN 位置 2 mP₂ = 55 kN 位置 4 m

R_B = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 5 mP = 30 kN 位置 2.5 mw = 8 kN/m（2 から 5 m まで）

R_A = kN

3.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 35 kN ↓D: 20 kN ↓G: 30 kN ↓H: 35 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 10 kN水平荷重 = 5 kN →

F_BC = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mw = 10 kN/m（0 から 5 m まで）x = 2 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 1.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP = 25 kN 位置 4.5 mw = 6 kN/m（0 から 6 m まで）x = 1.5 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

単純ばりの支点 A から a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δ_P を求めよ。

P = 18 kNa = 1 mL = 8 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりの支点 B から b = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。はりの最大たわみ δ_max を求めよ。

P = 28 kNb = 1.5 mL = 6 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 240 mm の底板と、全高 170 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 14 mm である。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b = 240 mmh = 170 mmt = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

150 mm × 150 mm の板に、幅 60 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 52.5 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 150 mmh = 150 mm切り欠き: 60 × 30 mm穴の中心: y = 52.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 3 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³粘土: γ_sat = 17.5 kN/m³

σ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 7.5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.4、C_r = 0.06、e₀ = 1.15 である。中央深さでの有効鉛直応力は 50 kPa であり、圧密降伏応力は 100 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 45 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 7.5 mC_c = 0.4C_r = 0.06e₀ = 1.15σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 100 kPaΔσ = 45 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 20 mm の粘土供試体が 15 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 6.5 m の層をなしている。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

h_lab = 20 mmt_lab = 15 minH = 6.5 m現場：両面排水

t = 日

17.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 300 m、内径 100 mm の水平管内を 2.4 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 2.4 m/sL = 300 mD = 100 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 0.2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 30 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 30 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

台形の砂利の水路の底幅は 4.5 m、側面勾配は 1:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.5 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.025、水路床勾配は S = 0.003 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 4.5 my = 1.5 mz = 1n = 0.025S = 0.003

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

幅 4.5 m の長方形のきれいな土の水路は、水深 0.7 m の等流で 6.7 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.022。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 6.7 m³/sb = 4.5 my = 0.7 mn = 0.022

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 78% のポンプが揚程 20 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 60 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 60 L/sH = 20 mη = 78%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 40 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 6 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 400 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 70% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 40 L/sΔz = 6 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 6η = 70%

P_shaft = kW

25.貨幣の時間価値ふつう

クレジットカードの名目年利は 18%、半年複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。

r = 18%m = 2

EAR = %

26.貨幣の時間価値むずかしい

29 年間、毎月末に €300 を積み立てます。口座の利率は年 4.8%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €3004.8% / 12N = 348

FV = €

27.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €20 000、耐用年数は 7 年、運転費は毎年 €4 000（各年末に支払い）です。資本コストは 12% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C₀ = €20 000M = €4 000n = 7r = 12%

EAC = €

28.NPV と IRRむずかしい

€25 000 の投資が 6 年間、毎年末に €5 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

C₀ = €25 000CF = €5 500n = 6

IRR = %

29.正規分布ふつう

配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。29 から 33.5 min の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 32σ = 6x₁ = 29x₂ = 33.5

P =

30.正規分布むずかしい

穴の直径 D は平均 25.04 mm、標準偏差 0.01 mm の正規分布に従います。軸の直径 d は D と独立で、平均 25 mm、標準偏差 0.015 mm の正規分布に従います。無作為に選んだ軸は D − d > 0 のとき穴にはまります。はまる確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

穴: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mm軸: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_B = 60 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·2 + 55·4

R_B = 300/5 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 60 = 35 kN

答え

R_B = 60 kN

2.はりの支点反力

答え: R_A = 22.2 kN

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN、作用点 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·2.5 + 8·3·3.5

R_B = 159/5 = 31.8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 54 − 31.8 = 22.2 kN

答え

R_A = 22.2 kN

3.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 41.25 kN (T), BC: 56.25 kN (T), CD: 56.25 kN (T), DE: 48.75 kN (T), FG: 41.25 kN (C), GH: 48.75 kN (C), AF: 68.75 kN (C), HE: 81.25 kN (C), BF: 55 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), BG: 25 kN (C), DG: 12.5 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

4.トラス：節点法

答え: F_BC = −10 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·2 + 5·4 → C_y = 8 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 8 = 2 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8/0.8 = −10 kN

答え

F_BC = −10 kN (圧縮)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 30 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN、作用点 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·5·2.5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

x = 2 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 25·2 − 10·2·1 = 30 kN·m

答え

M_x = 30 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 29.63 kN·m

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·4.5 + 6·6·3

R_B = 220.5/6 = 36.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 61 − 36.75 = 24.25 kN

x = 1.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 24.25·1.5 − 6·1.5·0.75 = 29.63 kN·m

答え

M_x = 29.63 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ_P = 58.61 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 18000 N, a = 1000 mm, b = 7000 mm, L = 8000 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

荷重位置のたわみ

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 18000·1000²·7000²/(3·6.27 × 10¹¹·8000) = 58.61 mm

答え

δ_P = 58.61 mm

8.はりのたわみ

答え: δ_max = 66.7 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 28000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

最大たわみの位置

長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1500²)/3) = 3354 mm

最大たわみ

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 66.7 mm

答え

δ_max = 66.7 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 20.56 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·5000 = 10000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1.042 × 10⁶/10000² = 20562 N = 20.56 kN

答え

P_cr = 20.56 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 17.27 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

答え

σ_cr = 17.27 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 22.63 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

長方形に分割

底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。

基剤: A₁ = 240·14 = 3360 mm², y₁ = 7 mm

2 本の脚: A₂ = 2·14·156 = 4368 mm², y₂ = 14 + 156/2 = 92 mm

図心

ȳ = (3360·7 + 4368·92)/7728 = 55.04 mm

平行軸の定理

基剤: 240·14³/12 + 3360·(7 − 55.04)² = 7.81 × 10⁶ mm⁴

2 本の脚: 2·14·156³/12 + 4368·(92 − 55.04)² = 1.482 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.81 × 10⁶ + 1.482 × 10⁷

I_x = 2.263 × 10⁷ mm⁴ = 22.63 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 22.63 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 41.06 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (22500·75 − 1800·52.5)/(22500 − 1800) = 76.96 mm

ȳ まわりの全体の板

150·150³/12 + 22500·−1.957² = 42.27 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

60·30³/12 + 1800·−24.46² = 1.212 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 41.06 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 41.06 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 35.38 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·1 + 19.5·2 = 55 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 55 − 19.62 = 35.38 kPa

答え

σ′ = 35.38 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ = 125.5 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3

σ = 16·1 + 19·3 + 17.5·3 = 125.5 kPa

答え

σ = 125.5 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 58.34 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 50 + 45 = 95 kPa ≤ 100 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.06·7.5/(1 + 1.15)·log₁₀(95/50) = 58.34 mm

答え

S = 58.34 mm

16.圧密沈下

答え: t = 1100 日

排水距離

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m

H_dr,field = 6.5/2 = 3.25 m

時間を換算する

t = T_v·H_dr²/c_v。T_v と c_v は室内と現場で同じです。

t_field = 15·(3.25/0.01)² = 1.584 × 10⁶ min

t_field = 1.584 × 10⁶/1440 = 1100 日

答え

t = 1100 日

17.静水圧

答え: F = 88.29 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·6 = 88.29 kN

答え

F = 88.29 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 3.524 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·1 = 34.34 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0.08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 0.08333/(3.5·1) = 3.524 m

答え

y_cp = 3.524 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 129.6 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(300/0.1)·2.4²/(2·9.81) = 13.21 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·13.21 = 129600 Pa = 129.6 kPa

答え

Δp = 129.6 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 2.145 m

速度

V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

損失係数

f·L/D = 0.018·100/0.15 = 12

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.6

全損失水頭

h_f = 12·0.1469 = 1.763 m

h_m = 2.6·0.1469 = 0.3819 m

Δz = h_f + h_m = 2.145 m

答え

Δz = 2.145 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 20.1 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (4.5 + 1·1.5)·1.5 = 9 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4.5 + 2·1.5·√(1 + 1²) = 8.743 m

R = A/P = 1.029 m

速度

V = (1/0.025)·1.029^2/3·0.003^1/2 = 2.234 m/s

流量

Q = A·V = 9·2.234 = 20.1 m³/s

答え

Q = 20.1 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.005055 m/m

断面の形状

A = b·y = 4.5·0.7 = 3.15 m²

P = b + 2y = 4.5 + 2·0.7 = 5.9 m

R = A/P = 0.5339 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·6.7/(3.15·0.6581) = 0.0711

S = 0.0711² = 0.005055

答え

S = 0.005055

これは 1 km あたり 5.055 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 15.09 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·20 = 11.77 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 11.77/0.78 = 15.09 kW

答え

P_shaft = 15.09 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 5.309 kW

速度

V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s

V²/(2g) = 0.08263 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 6)·0.08263 = 3.47 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 6 + 3.47 = 9.47 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·9.47/0.7 = 5.309 kW

答え

P_shaft = 5.309 kW

25.貨幣の時間価値

答え: EAR = 18.81 %

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

1 期あたりの利率

r/m = 0.18/2 = 0.09

1 年分の複利計算

EAR = (1 + 0.09)² − 1 = 1.188 − 1 = 18.81%

答え

EAR = 18.81%

利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。

26.貨幣の時間価値

答え: FV = 225880 €

月利と積立回数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·29 = 348

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(4.012 − 1)/0.004 = €225 880.00

答え

FV = €225 880.00

自分で払い込んだのは €104 400。残りは利息です。

27.NPV と IRR

答え: EAC = 8382 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.12⁻⁷)/0.12 = 4.564

年換算した購入価格

20 000/4.564 = 4 382.35

EAC

EAC = 4 382.35 + 4 000 = €8 382.35

答え

EAC = €8 382.35

28.NPV と IRR

答え: IRR = 8.559 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

必要な年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 25 000/5 500 = 4.545

利率について解く

利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。

i = 8%: 4.623

i = 9%: 4.486

IRR = 8.559%

答え

IRR = 8.559%

29.正規分布

答え: P = 0.2902

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (29 − 32)/6 = −0.5

z₂ = (33.5 − 32)/6 = 0.25

間の面積

P = Φ(0.25) − Φ(−0.5) = 0.5987 − 0.3085 = 0.2902

答え

P = 0.2902

30.正規分布

答え: P = 0.9868

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.01803 mm

標準化する

z = (0 − 0.04)/0.01803 = −2.22

確率

P = 1 − Φ(−2.22) = 0.9868

答え

P = 0.9868

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