FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

はりは A でピン支点、A から 5 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 R_B を求めよ。

AB = 5 mAC = 8 mP₁ = 70 kN 位置 2 mP₂ = 10 kN 位置 8 m

R_B = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 5 mP = 25 kN 位置 1.5 mw = 8 kN/m（0 から 3 m まで）

R_B = kN

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 2 m鉛直荷重 = 50 kN

F_AB = kN

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 15 kN ↓F: 25 kN ↓F: 30 kN →G: 10 kN ↓H: 10 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 FC
13部材 HC

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 2.5 m の断面におけるせん断力 V_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 6 kN/m（0 から 10 m まで）x = 2.5 m

V_x = kN

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 6 mP = 65 kN 位置 2.5 mw = 3 kN/m（0 から 6 m まで）

M_max = kN·m

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θ_A をラジアンで求めよ。

w = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δ_max を求めよ。

P = 13 kNw = 6 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 100 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 100 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

100 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 105 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 100 mmh = 300 mmd = 40 mm穴の中心: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 15 kN·m を受ける。下端の曲げ応力 σ_下端を求めよ。

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mmM = 15 kN·m

σ_下端 = MPa

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³

u = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 10 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³粘土: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.35、C_r = 0.05、e₀ = 1.05 である。中央深さでの有効鉛直応力は 90 kPa であり、圧密降伏応力は 130 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 90 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 5 mC_c = 0.35C_r = 0.05e₀ = 1.05σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 130 kPaΔσ = 90 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 20 mm の粘土供試体が 5 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 7.5 m の層をなしている。不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

h_lab = 20 mmt_lab = 5 minH = 7.5 m現場：片面排水

t = 日

17.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 100 m、内径 150 mm の管内を 10 L/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

Q = 10 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 120 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 120 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

台形の砂利の水路の底幅は 3.5 m、側面勾配は 1.5:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.8 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.025、水路床勾配は S = 0.005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 3.5 my = 1.8 mz = 1.5n = 0.025S = 0.005

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 2 m、側面勾配 2:1（水平:鉛直）の台形の砂利の水路は、水深 0.8 m の等流で 2.1 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.025。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 2.1 m³/sb = 2 my = 0.8 mz = 2n = 0.025

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 78 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 40 L/s 送っている。ポンプ効率は 60%、これを駆動する電動機の効率は 88% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 40 L/sH = 78 mη_pump = 60%η_motor = 88%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 25 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 8 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 500 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 80% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 25 L/sΔz = 8 mL = 500 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 8η = 80%

P_shaft = kW

25.貨幣の時間価値ふつう

年金が毎年末に €5 000 を 15 年間支払います。利率は年 5% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。

A = €5 000i = 5%n = 15

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

18 年間、毎月末に €300 を積み立てます。口座の利率は年 2.4%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €3002.4% / 12N = 216

FV = €

27.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €80 000、耐用年数は 10 年、運転費は毎年 €1 000（各年末に支払い）です。資本コストは 12% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C₀ = €80 000M = €1 000n = 10r = 12%

EAC = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €12 500, €11 000, €9 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −25 000CF₁ = 12 500CF₂ = 11 000CF₃ = 9 500

IRR = %

29.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.0329 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.0329

z =

30.正規分布むずかしい

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。色つきの下位 75% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 250 gσ = 5 g75%

x = g

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_B = 44 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 70·2 + 10·8

R_B = 220/5 = 44 kN

鉛直方向のつり合い

R_A = 70 + 10 − 44 = 36 kN

答え

R_B = 44 kN

2.はりの支点反力

答え: R_B = 14.7 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN、作用点 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1.5 + 8·3·1.5

R_B = 73.5/5 = 14.7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 49 − 14.7 = 34.3 kN

答え

R_B = 14.7 kN

3.トラス：節点法

答え: F_AB = −41.93 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·2 → C_y = 12.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 12.5 = 37.5 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/4.472 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −37.5/0.8944 = −41.93 kN

答え

F_AB = −41.93 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: 部材 DH

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 D

CD と DE は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、DH だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 60 kN (T), BC: 60 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 42.43 kN (C), HE: 42.43 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 14.14 kN (C), HC: 28.28 kN (T)

答え

ゼロ部材: DH

5.せん断力と曲げモーメント

答え: V_x = 15 kN

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

x = 2.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

V = R_A − （切断面より左の下向き荷重すべて）

V_x = 30 − 6·2.5 = 15 kN

答え

V_x = 15 kN

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 107.9 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·2.5 + 3·6·3

R_B = 216.5/6 = 36.08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 36.08 = 46.92 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(2.5⁻) = R_A − w·2.5 = 39.42 kN

V(2.5⁺) = 39.42 − 65 = −25.58 kN

荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

M_max = R_A·2.5 − w·2.5²/2 = 46.92·2.5 − 3·2.5²/2 = 107.9 kN·m

答え

M_max = 107.9 kN·m

それは A から x = 2.5 m の位置に生じます。

7.はりのたわみ

答え: θ_A = 0.04235 rad

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

端部のたわみ角

θ_A = wL³/(24EI) = 8·6000³/(24·1.7 × 10¹²) = 0.04235 rad

答え

θ_A = 0.04235 rad

これは 2.427° です。

8.はりのたわみ

答え: δ_max = 62.64 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 13000 N, w = 6 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δ_P = PL³/(48EI) = 13000·5000³/(48·1.32 × 10¹²) = 25.65 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 36.99 mm

足し合わせる

δ_max = 25.65 + 36.99 = 62.64 mm

答え

δ_max = 62.64 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 120.3 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/1750² = 120315 N = 120.3 kN

答え

P_cr = 120.3 kN

10.柱の座屈

答え: d = 77.13 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 3·100000 = 300000 N

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 77.13 mm

答え

d = 77.13 mm

確認：細長比 KL/r は 103.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 222.2 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (30000·150 − 1257·105)/(30000 − 1257) = 152 mm

ȳ まわりの全体の板

100·300³/12 + 30000·−1.967² = 225.1 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·40⁴/64 + 1257·−46.97² = 2.898 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 222.2 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 222.2 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_下端 = 175.7 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187.5 mm

ウェブ: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·187.5 + 1440·90)/4740 = 157.9 mm

平行軸の定理

フランジ: 220·15³/12 + 3300·(187.5 − 157.9)² = 2.957 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 8·180³/12 + 1440·(90 − 157.9)² = 1.052 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.957 × 10⁶ + 1.052 × 10⁷ = 1.348 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 157.9 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·157.9/1.348 × 10⁷ = 175.7 MPa

答え

σ_下端 = 175.7 MPa

13.地盤の有効応力

答え: u = 19.62 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

答え

u = 19.62 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 116.1 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·4

σ = 16.5·4 + 18.5·2 + 18·4 = 175 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 175 − 58.86 = 116.1 kPa

答え

σ′ = 116.1 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 140.1 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 90 + 90 = 180 kPa > 130 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.05·5/(1 + 1.05)·log₁₀(130/90) + 0.35·5/(1 + 1.05)·log₁₀(180/130)

S = 19.48 + 120.6 = 140.1 mm

答え

S = 140.1 mm

16.圧密沈下

答え: t = 1953 日

排水距離

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m

H_dr,field = 7.5 m

時間を換算する

t = T_v·H_dr²/c_v。T_v と c_v は室内と現場で同じです。

t_field = 5·(7.5/0.01)² = 2.813 × 10⁶ min

t_field = 2.813 × 10⁶/1440 = 1953 日

答え

t = 1953 日

17.静水圧

答え: F = 49.05 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·2 = 49.05 kN

答え

F = 49.05 kN

18.静水圧

答え: F = 135.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·4.5 = 135.7 kN

答え

F = 135.7 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 0.2176 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²

V = Q/A = 0.01/0.01767 = 0.5659 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 0.5659²/(2·9.81) = 0.01632 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(100/0.15)·0.5659²/(2·9.81) = 0.2176 m

答え

h_f = 0.2176 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 2.022 m

速度

V = Q/A = 0.12/0.07069 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

損失係数

f·L/D = 0.02·100/0.3 = 6.667

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

全損失水頭

h_f = 6.667·0.1469 = 0.9793 m

h_m = 7.1·0.1469 = 1.043 m

Δz = h_f + h_m = 2.022 m

答え

Δz = 2.022 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 33.98 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1.5·1.8)·1.8 = 11.16 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·1.8·√(1 + 1.5²) = 9.99 m

R = A/P = 1.117 m

速度

V = (1/0.025)·1.117^2/3·0.005^1/2 = 3.045 m/s

流量

Q = A·V = 11.16·3.045 = 33.98 m³/s

答え

Q = 33.98 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0008022 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (2 + 2·0.8)·0.8 = 2.88 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·0.8·√(1 + 2²) = 5.578 m

R = A/P = 0.5163 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·2.1/(2.88·0.6436) = 0.02832

S = 0.02832² = 0.0008022

答え

S = 0.0008022

これは 1 km あたり 0.8022 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 57.97 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·78 = 30.61 kW

軸動力

P_shaft = 30.61/0.6 = 51.01 kW

電力

P_el = 51.01/0.88 = 57.97 kW

答え

P_el = 57.97 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 4.996 kW

速度

V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s

V²/(2g) = 0.102 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (73.33 + 8)·0.102 = 8.297 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 8 + 8.297 = 16.3 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.025·16.3/0.8 = 4.996 kW

答え

P_shaft = 4.996 kW

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 51898 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.481)/0.05 = 10.38

現在価値

PV = 5 000·10.38 = €51 898.29

答え

PV = €51 898.29

26.貨幣の時間価値

答え: FV = 80951 €

月利と積立回数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·18 = 216

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1.54 − 1)/0.002 = €80 950.61

答え

FV = €80 950.61

自分で払い込んだのは €64 800。残りは利息です。

27.NPV と IRR

答え: EAC = 15159 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.12⁻¹⁰)/0.12 = 5.65

年換算した購入価格

80 000/5.65 = 14 158.73

EAC

EAC = 14 158.73 + 1 000 = €15 158.73

答え

EAC = €15 158.73

28.NPV と IRR

答え: IRR = 16.09 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(15%) = 433.55

NPV(20%) = −1 446.76

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 15 + 5·433.55/(433.55 − (−1 446.76)) = 16.15%

正確な値: NPV(16.09%) = 0 → IRR = 16.09%

答え

IRR = 16.09%

29.正規分布

答え: z = 1.84

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.0329 = 0.9671

z 表を逆に読む

表の中で 0.9671 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.84

答え

z = 1.84

30.正規分布

答え: x = 253.4 g

左側の面積

Φ(z) = 0.75

表からの z

z ≈ 0.67

元の単位に戻す

x = 250 + 0.67·5 = 253.4 g

答え

x = 253.4 g

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